Theorem cantnfp1lem2 8459

Description: Lemma for cantnfp1 8461. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
cantnfp1.e	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
cantnfp1.o	⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem2	⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		cantnfp1.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		iftrue 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑋 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = 𝑌)
4		cantnfp1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
5	3, 4	fvmptg 6189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
6	1, 2, 5	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
7		cantnfp1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑌)
8		cantnfs.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
9		onelon 5665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ On)
10	8, 2, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ On)
11		on0eln0 5697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ On → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑌 ↔ 𝑌 ≠ ∅))
13	7, 12	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
14	6, 13	eqnetrd 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)
15	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
16		cantnfp1.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
17		cantnfs.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
18		cantnfs.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
19	17, 8, 18	cantnfs 8446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
20	16, 19	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
21	20	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
22	21	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
23	15, 22	ifcld 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
24	23, 4	fmptd 6292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
25		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐵⟶𝐴 → 𝐹 Fn 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐵)
27		0ex 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
29		elsuppfn 7190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
30	26, 18, 28, 29	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ ∅)))
31	1, 14, 30	mpbir2and 959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅))
32		n0i 3879	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 supp ∅) → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹 supp ∅) = ∅)
34		suppssdm 7195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
35	4, 23	dmmptd 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
36	34, 35	syl5sseq 3616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
37	18, 36	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
38		cantnfp1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
39		cantnfp1.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
40	17, 8, 18, 16, 1, 2, 39, 4	cantnfp1lem1 8458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
41	17, 8, 18, 38, 40	cantnfcl 8447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝑂 ∈ ω))
42	41	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
43	38	oien 8326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
44	37, 42, 43	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅))
45		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ ∅ ≈ (𝐹 supp ∅)))
46		ensymb 7890	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) ≈ ∅)
47		en0 7905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 supp ∅) ≈ ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
48	46, 47	bitri 263	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅)
49	45, 48	syl6bb 275	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑂 = ∅ → (dom 𝑂 ≈ (𝐹 supp ∅) ↔ (𝐹 supp ∅) = ∅))
50	44, 49	syl5ibcom 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∅ → (𝐹 supp ∅) = ∅))
51	33, 50	mtod 188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∅)
52	41	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 ∈ ω)
53		nnlim 6970	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → ¬ Lim dom 𝑂)
54	52, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ Lim dom 𝑂)
55		ioran 510	. . . 4 ⊢ (¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂) ↔ (¬ dom 𝑂 = ∅ ∧ ¬ Lim dom 𝑂))
56	51, 54, 55	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂))
57		nnord 6965	. . . 4 ⊢ (dom 𝑂 ∈ ω → Ord dom 𝑂)
58		unizlim 5761	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
59	52, 57, 58	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ↔ (dom 𝑂 = ∅ ∨ Lim dom 𝑂)))
60	56, 59	mtbird 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂)
61		orduniorsuc 6922	. . . 4 ⊢ (Ord dom 𝑂 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
62	52, 57, 61	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 ∨ dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
63	62	ord 391	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ dom 𝑂 = ∪ dom 𝑂 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂))
64	60, 63	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = suc ∪ dom 𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   E cep 4947   We wwe 4996  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  suc csuc 5642   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   supp csupp 7182   ≈ cen 7838   finSupp cfsupp 8158  OrdIsocoi 8297   CNF ccnf 8441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-cnf 8442

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8460