Theorem nnord 6965

Description: A natural number is ordinal. (Contributed by NM, 17-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem nnord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 6963	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		eloni 5650	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Ord word 5639  Oncon0 5640  ωcom 6957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958

This theorem is referenced by:  nnlim  6970  nnsuc  6974  nnaordi  7585  nnaord  7586  nnaword  7594  nnmord  7599  nnmwordi  7602  nnawordex  7604  omsmo  7621  phplem1  8024  phplem2  8025  phplem3  8026  phplem4  8027  php  8029  php4  8032  nndomo  8039  ominf  8057  isinf  8058  pssnn  8063  dif1en  8078  unblem1  8097  isfinite2  8103  unfilem1  8109  inf3lem5  8412  inf3lem6  8413  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  dif1card  8716  pwsdompw  8909  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem14  8938  ackbij1lem16  8940  ackbij1b  8944  ackbij2  8948  sornom  8982  infpssrlem4  9011  infpssrlem5  9012  fin23lem26  9030  fin23lem23  9031  isf32lem2  9059  isf32lem3  9060  isf32lem4  9061  domtriomlem  9147  axdc3lem2  9156  axdc3lem4  9158  canthp1lem2  9354  elni2  9578  piord  9581  addnidpi  9602  indpi  9608  om2uzf1oi  12614  fzennn  12629  hashp1i  13052  bnj529  30065  bnj1098  30108  bnj570  30229  bnj594  30236  bnj580  30237  bnj967  30269  bnj1001  30282  bnj1053  30298  bnj1071  30299  hfun  31455  finminlem  31482  finxpsuclem  32410  finxpsuc  32411  wepwso  36631