Theorem nnaword 7594

Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaword	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem nnaword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaord 7586	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
2	1	3com12 1261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
3	2	notbid 307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
4		nnord 6965	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
5		nnord 6965	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
6		ordtri1 5673	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	3adant3 1074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		nnacl 7578	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
10	9	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
11	10	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
12		nnacl 7578	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
13	12	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
14	13	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
15		nnord 6965	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐴))
16		nnord 6965	. . . 4 ⊢ ((𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐵))
17		ordtri1 5673	. . . 4 ⊢ ((Ord (𝐶 +𝑜 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +𝑜 𝐵)) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
18	15, 16, 17	syl2an 493	. . 3 ⊢ (((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
19	11, 14, 18	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
20	3, 8, 19	3bitr4d 299	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  Ord word 5639  (class class class)co 6549  ωcom 6957   +_𝑜 coa 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451

This theorem is referenced by:  nnacan  7595  nnaword1  7596