Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxpsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxpsuc 32411
Description: The value of Cartesian exponentiation at a successor. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxpsuc ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))

Proof of Theorem finxpsuc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnord 6965 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → Ord 𝑁)
2 ordge1n0 7465 . . . . 5 (Ord 𝑁 → (1𝑜𝑁𝑁 ≠ ∅))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ω → (1𝑜𝑁𝑁 ≠ ∅))
43biimprd 237 . . 3 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 ≠ ∅ → 1𝑜𝑁))
54imdistani 722 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜𝑁))
6 eqid 2610 . . 3 (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩))) = (𝑦 ∈ ω, 𝑥 ∈ V ↦ if((𝑦 = 1𝑜𝑥𝑈), ∅, if(𝑥 ∈ (V × 𝑈), ⟨ 𝑦, (1st𝑥)⟩, ⟨𝑦, 𝑥⟩)))
76finxpsuclem 32410 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ 1𝑜𝑁) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
85, 7syl 17 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 𝑁) = ((𝑈↑↑𝑁) × 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036  cop 4131   cuni 4372   × cxp 5036  Ord word 5639  suc csuc 5642  cfv 5804  cmpt2 6551  ωcom 6957  1st c1st 7057  1𝑜c1o 7440  ↑↑cfinxp 32396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-reg 8380
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-finxp 32397
This theorem is referenced by:  finxp2o  32412  finxp3o  32413  finxp00  32415
  Copyright terms: Public domain W3C validator