Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfcl 8447
 Description: Basic properties of the order isomorphism 𝐺 used later. The support of an 𝐹 ∈ 𝑆 is a finite subset of 𝐴, so it is well-ordered by E and the order isomorphism has domain a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.) (Revised by AV, 28-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
cantnfcl.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cantnfcl.f (𝜑𝐹𝑆)
Assertion
Ref Expression
cantnfcl (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))

Proof of Theorem cantnfcl
StepHypRef Expression
1 suppssdm 7195 . . . . 5 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
2 cantnfcl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑆)
3 cantnfs.s . . . . . . . . 9 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
4 cantnfs.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ On)
5 cantnfs.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ On)
63, 4, 5cantnfs 8446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅)))
72, 6mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵𝐴𝐹 finSupp ∅))
87simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
9 fdm 5964 . . . . . 6 (𝐹:𝐵𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
111, 10syl5sseq 3616 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐵)
12 onss 6882 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
135, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ On)
1411, 13sstrd 3578 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
15 epweon 6875 . . 3 E We On
16 wess 5025 . . 3 ((𝐹 supp ∅) ⊆ On → ( E We On → E We (𝐹 supp ∅)))
1714, 15, 16mpisyl 21 . 2 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
18 ovex 6577 . . . . . 6 (𝐹 supp ∅) ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
20 cantnfcl.g . . . . . 6 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2120oion 8324 . . . . 5 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2219, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ On)
237simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝐹 finSupp ∅)
2423fsuppimpd 8165 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
2520oien 8326 . . . . . 6 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
2619, 17, 25syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅))
27 enfii 8062 . . . . 5 (((𝐹 supp ∅) ∈ Fin ∧ dom 𝐺 ≈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ Fin)
2824, 26, 27syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ Fin)
2922, 28elind 3760 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ (On ∩ Fin))
30 onfin2 8037 . . 3 ω = (On ∩ Fin)
3129, 30syl6eleqr 2699 . 2 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ ω)
3217, 31jca 553 1 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   E cep 4947   We wwe 4996  dom cdm 5038  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ωcom 6957   supp csupp 7182   ≈ cen 7838  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  OrdIsocoi 8297   CNF ccnf 8441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-cnf 8442 This theorem is referenced by:  cantnfval2  8449  cantnfle  8451  cantnflt  8452  cantnflt2  8453  cantnff  8454  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  cantnflem1b  8466  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  cnfcomlem  8479  cnfcom  8480  cnfcom2lem  8481  cnfcom3lem  8483
 Copyright terms: Public domain W3C validator