Theorem on0eln0 5697

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5650	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 5696	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  Ord word 5639  Oncon0 5640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644

This theorem is referenced by:  ondif1  7468  oe0lem  7480  oevn0  7482  oa00  7526  omord  7535  om00  7542  om00el  7543  omeulem1  7549  omeulem2  7550  oewordri  7559  oeordsuc  7561  oelim2  7562  oeoa  7564  oeoe  7566  oeeui  7569  omabs  7614  omxpenlem  7946  cantnff  8454  cantnfp1lem2  8459  cantnfp1lem3  8460  cantnfp1  8461  cantnflem1d  8468  cantnflem1  8469  cantnflem3  8471  cantnflem4  8472  cantnf  8473  cnfcomlem  8479  cnfcom3  8484  r1tskina  9483  onsucconi  31606  onint1  31618  frlmpwfi  36686