Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasure Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasure 39364
 Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasure.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasure.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
psmeasure (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2 psmeasure.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
41elpwid 4118 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
5 fssres 5983 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
63, 4, 5syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
71, 6sge0cl 39274 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8 psmeasure.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
97, 8fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
108, 7dmmptd 5937 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
1110feq2d 5944 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
129, 11mpbird 246 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13 psmeasure.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
14 pwsal 39211 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1610, 15eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1712, 16jca 553 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
188a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
19 reseq2 5312 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
2019fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
22 0elpw 4760 . . . . . 6 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
24 fvex 6113 . . . . . 6 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
2618, 21, 23, 25fvmptd 6197 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
27 res0 5321 . . . . . . 7 (𝐻 ↾ ∅) = ∅
2827fveq2i 6106 . . . . . 6 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
29 sge00 39269 . . . . . 6 ^‘∅) = 0
3028, 29eqtri 2632 . . . . 5 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
3226, 31eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
33 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
34 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
3510pweqd 4113 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3734, 36eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
38 elpwi 4117 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
4013ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑋𝑉)
412ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
429ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
43 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
44 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
4544cbvdisjv 4564 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4645biimpi 205 . . . . . . . . 9 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4746adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4840, 41, 8, 42, 43, 47psmeasurelem 39363 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
4948adantrl 748 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤)) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
5049ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5133, 39, 50syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5251ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5317, 32, 52jca31 555 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
54 ismea 39344 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
5553, 54sylibr 223 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049  SAlgcsalg 39204  Σ^csumge0 39255  Meascmea 39342 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator