Theorem bits0ALTV 40128

Description: Value of the zeroth bit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bits0ALTV	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))

Proof of Theorem bits0ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11184	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bitsval2 14985	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
4		2cn 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp0 12726	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
7	6	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1)
8		zcn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	div1d 10672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 1) = 𝑁)
10	7, 9	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
11	10	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
12		flid 12471	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
13	11, 12	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = 𝑁)
14	13	breq2d 4595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ 2 ∥ 𝑁))
15	14	notbid 307	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
16		isodd3 40103	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	baibr 943	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
18	3, 15, 17	3bitrd 293	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   / cdiv 10563  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  bitscbits 14979   Odd codd 40076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822  df-bits 14982  df-odd 40078

This theorem is referenced by:  bits0eALTV  40129  bits0oALTV  40130