Theorem isosctrlem3 24350

Description: Lemma for isosctr 24351. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isosctrlem3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
isosctrlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isosctrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1078	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp21 1087	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
3		simp1r 1079	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 10271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		simp23 1089	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	1, 3, 5	subne0d 10280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
7		isosctrlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
8	7	angneg 24333	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
9	1, 2, 4, 6, 8	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
10	1, 3	negsubdi2d 10287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	oveq2d 6565	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)))
12		1cnd 9935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
13		ax-1ne0 9884	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ 0)
15	3, 1, 2	divcld 10680	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
16	12, 15	subcld 10271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
17	5	necomd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
18	3, 1, 2, 17	divne1d 10691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 1)
19	18	necomd 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ (𝐵 / 𝐴))
20	12, 15, 19	subne0d 10280	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
21	7, 12, 14, 16, 20	angvald 24334	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))))
22	16	div1d 10672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
23	22	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1)) = (log‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
24	23	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))) = (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))))
25	3, 1, 2	absdivd 14042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
26		simp3 1056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵))
27	26	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
28	27	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
29	1	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 2	absne0d 14034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
32	30, 31	dividd 10678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
33	25, 28, 32	3eqtrd 2648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1)
34	19	neneqd 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴))
35		isosctrlem2 24349	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1 ∧ ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
36	15, 33, 34, 35	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
37	15	negcld 10258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
38		simp22 1088	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
39	3, 1, 38, 2	divne0d 10696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
40	15, 39	negne0d 10269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
41	7, 16, 20, 37, 40	angvald 24334	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
42	36, 41	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
43	21, 24, 42	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
44	1	mulid1d 9936	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
45	1, 12, 15	subdid 10365	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))))
46	3, 1, 2	divcan2d 10682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = 𝐵)
47	44, 46	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
48	45, 47	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
49	44, 48	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
50	7	angcan 24332	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
51	12, 14, 16, 20, 1, 2, 50	syl222anc 1334	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
52	49, 51	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
53	1, 15	mulneg2d 10363	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)))
54	46	negeqd 10154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
55	53, 54	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
56	48, 55	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
57	7	angcan 24332	. . . . 5 ⊢ ((((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (-(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
58	16, 20, 37, 40, 1, 2, 57	syl222anc 1334	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
59	56, 58	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
60	43, 52, 59	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
61	9, 11, 60	3eqtr3d 2652	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℑcim 13686  abscabs 13822  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107

This theorem is referenced by:  isosctr  24351