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Theorem iblmulc2 22786
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblmulc2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2 itgmulc2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3 itgmulc2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
4 iblmbf 22723 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
61, 2, 5mbfmulc2 22617 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
7 ifan 3957 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
81adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
95, 2mbfmptcl 22591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
108, 9mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1110adantlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
12 elfzelz 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1312ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
14 ax-icn 9605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
15 ine0 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
16 expclz 12303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
19 expne0i 12310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2014, 15, 19mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2211, 18, 21divcld 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) )  e.  CC )
2322recld 13257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
24 0re 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
25 ifcl 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2726rexrd 9697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
28 max1 11487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2924, 23, 28sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
30 elxrge0 11748 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 0e0iccpnf 11750 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3431, 33ifclda 3943 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
367, 35syl5eqel 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
37 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3836, 37fmptd 6061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
39 reex 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
411abscld 13497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
4241adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
439abscld 13497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
449absge0d 13505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
45 elrege0 11745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4643, 44, 45sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
47 0e0icopnf 11749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4946, 48ifclda 3943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
51 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { ( abs `  C ) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C
) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C ) ) )
53 eqidd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
5440, 42, 50, 52, 53offval2 6562 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
55 ovif2 6388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  C )  x.  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )
568, 9absmuld 13515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
5756ifeq1da 3941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) ) )
5841recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
5958mul01d 9839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
6059ifeq2d 3930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6157, 60eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6255, 61syl5eq 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6362mpteq2dv 4511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
6454, 63eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
6564fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) ) )
66 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
6750, 66fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
682, 3iblabs 22784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
6943, 44iblpos 22748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7068, 69mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
7170simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
72 abscl 13341 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
73 absge0 13350 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
74 elrege0 11745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  C )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
761, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7767, 71, 76itg2mulc 22703 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) ) )
7865, 77eqtr3d 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) ) )
7941, 71remulcld 9678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
8078, 79eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8180adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8210abscld 13497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
8382rexrd 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e. 
RR* )
8410absge0d 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
85 elxrge0 11748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( C  x.  B
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ) )
8683, 84, 85sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8732a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8886, 87ifclda 3943 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8988adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
90 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
9189, 90fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9291adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9322releabsd 13512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )
9411, 18, 21absdivd 13516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
95 elfznn0 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
9695ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
97 absexp 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
9814, 96, 97sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
99 absi 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  _i )  =  1
10099oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
101 1exp 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
10213, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
103100, 102syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
10498, 103eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
105104oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
10682recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
107106adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
108107div1d 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
10994, 105, 1083eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
11093, 109breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
11184adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
112 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( C  x.  B )
) ) )
113 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( C  x.  B )
) ) )
114112, 113ifboth 3947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) )  /\  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) )
115110, 111, 114syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) )
116 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
117116adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
118 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
119118adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
120115, 117, 1193brtr4d 4454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
121120ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
122 0le0 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
124 iffalse 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
125 iffalse 3920 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  0 )
126123, 124, 1253brtr4d 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
127121, 126pm2.61d1 162 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
1287, 127syl5eqbr 4457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
129128ralrimivw 2837 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) )
13039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
13189adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
132 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
133 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
134130, 36, 131, 132, 133ofrfval2 6563 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
135129, 134mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
136 itg2le 22695 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) ) )
13738, 92, 135, 136syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) ) )
138 itg2lecl 22694 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
13938, 81, 137, 138syl3anc 1264 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
140139ralrimiva 2836 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
141 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
142 eqidd 2423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
143141, 142, 10isibl2 22722 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1446, 140, 143mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   _Vcvv 3080   ifcif 3911   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543    oRcofr 6544   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   _ici 9548    x. cmul 9551   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    <_ cle 9683    / cdiv 10276   3c3 10667   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   [,)cico 11644   [,]cicc 11645   ...cfz 11791   ^cexp 12278   Recre 13160   abscabs 13297  MblFncmbf 22570   S.2citg2 22572   L^1cibl 22573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-0p 22626
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  22787  itgmulc2lem2  22788  itgmulc2  22789  itgabs  22790  fourierdlem83  37993  fourierdlem95  38005  sqwvfoura  38032  sqwvfourb  38033
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