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Theorem iblmulc2 22867
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
iblmulc2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iblmulc2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2 itgmulc2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
3 itgmulc2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
4 iblmbf 22804 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
61, 2, 5mbfmulc2 22698 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
7 ifan 3918 . . . . . 6  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
81adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
95, 2mbfmptcl 22672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
108, 9mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1110adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
12 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
1312ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  ZZ )
14 ax-icn 9616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
15 ine0 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
16 expclz 12335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1714, 15, 16mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
19 expne0i 12342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2014, 15, 19mp3an12 1380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
2211, 18, 21divcld 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) )  e.  CC )
2322recld 13334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
24 0re 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
25 ifcl 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2726rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
28 max1 11503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2924, 23, 28sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
30 elxrge0 11767 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
3127, 29, 30sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3431, 33ifclda 3904 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3534adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
367, 35syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
37 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3836, 37fmptd 6061 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
39 reex 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
411abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
439abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
449absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
45 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
4643, 44, 45sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
47 0e0icopnf 11768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4946, 48ifclda 3904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
51 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { ( abs `  C ) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C
) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  C ) ) )
53 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )
5440, 42, 50, 52, 53offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
55 ovif2 6393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  C )  x.  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )
568, 9absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) )
5756ifeq1da 3902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( ( abs `  C
)  x.  ( abs `  B ) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) ) )
5841recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
5958mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  0 )  =  0 )
6059ifeq2d 3891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6157, 60eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( ( abs `  C )  x.  ( abs `  B
) ) ,  ( ( abs `  C
)  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6255, 61syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
6362mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( abs `  C
)  x.  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
6454, 63eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { ( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
6564fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) ) )
66 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
6750, 66fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
682, 3iblabs 22865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
6943, 44iblpos 22829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
7068, 69mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
7170simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
72 abscl 13418 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
73 absge0 13427 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
74 elrege0 11764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  C )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 677 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
761, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7767, 71, 76itg2mulc 22784 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  {
( abs `  C
) } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) ) )
7865, 77eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  =  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) ) )
7941, 71remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )  e.  RR )
8078, 79eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8180adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8210abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  RR )
8382rexrd 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e. 
RR* )
8410absge0d 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
85 elxrge0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( C  x.  B
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ) )
8683, 84, 85sylanbrc 677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8732a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8886, 87ifclda 3904 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B
) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8988adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
90 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
9189, 90fmptd 6061 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9291adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9322releabsd 13590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )
9411, 18, 21absdivd 13594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) ) )
95 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
9695ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  k  e.  NN0 )
97 absexp 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
_i ^ k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
9814, 96, 97sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  ( ( abs `  _i ) ^ k ) )
99 absi 13426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs `  _i )  =  1
10099oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs `  _i ) ^ k )  =  ( 1 ^ k
)
101 1exp 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
10213, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
103100, 102syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  _i ) ^ k )  =  1 )
10498, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( _i ^
k ) )  =  1 )
105104oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  ( abs `  ( _i ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 ) )
10682recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
107106adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( C  x.  B ) )  e.  CC )
108107div1d 10397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( abs `  ( C  x.  B )
)  /  1 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
10994, 105, 1083eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
11093, 109breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
11184adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
112 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( C  x.  B )
) ) )
113 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( C  x.  B ) )  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( C  x.  B )
) ) )
114112, 113ifboth 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) )  /\  0  <_  ( abs `  ( C  x.  B )
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) )
115110, 111, 114syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( C  x.  B
) ) )
116 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
117116adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
118 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
119118adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( C  x.  B )
) )
120115, 117, 1193brtr4d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
121120ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
122 0le0 10721 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
124 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
125 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  =  0 )
126123, 124, 1253brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
127121, 126pm2.61d1 164 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
1287, 127syl5eqbr 4429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )
129128ralrimivw 2810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) )
13039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  RR  e.  _V )
13189adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
132 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
133 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
134130, 36, 131, 132, 133ofrfval2 6568 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
135129, 134mpbird 240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )
136 itg2le 22776 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) ) )
13738, 92, 135, 136syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B ) ) ,  0 ) ) ) )
138 itg2lecl 22775 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  ( C  x.  B )
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( C  x.  B )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
13938, 81, 137, 138syl3anc 1292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
140139ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
141 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
142 eqidd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
143141, 142, 10isibl2 22803 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( C  x.  B
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( C  x.  B )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1446, 140, 143mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    oRcofr 6549   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   _ici 9559    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    / cdiv 10291   3c3 10682   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   ...cfz 11810   ^cexp 12310   Recre 13237   abscabs 13374  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653   L^1cibl 22654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem1  22868  itgmulc2lem2  22869  itgmulc2  22870  itgabs  22871  fourierdlem83  38165  fourierdlem95  38177  sqwvfoura  38204  sqwvfourb  38205
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