Theorem div2neg 10627

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
div2neg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10160	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6		div12 10586	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8		divneg 10598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
9	4, 8	syld3an1 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10		divid 10593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	10	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
12	11	negeqd 10154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
14	13	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15		ax-1cn 9873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 10228	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 9901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
18	16, 17	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19		mulm1 10350	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
20	18, 19	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21	20	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
22	14, 21	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
23	7, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24		negcl 10160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26		divcl 10570	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27		negeq0 10214	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 ↔ -𝐵 = 0))
28	27	necon3bid 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 ↔ -𝐵 ≠ 0))
29	28	biimpa 500	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
30	29	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
31		divmul 10567	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
32	25, 26, 2, 30, 31	syl112anc 1322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
33	23, 32	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  divneg2  10628  div2negd  10695  div2sub  10729  iblcnlem1  23360  itgcnlem  23362