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Theorem iblcnlem1 19632
Description: Lemma for iblcnlem 19633. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.s  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.t  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem.u  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
itgcnlem1.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
iblcnlem1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    S( x)    T( x)    U( x)

Proof of Theorem iblcnlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
2 eqidd 2405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3 itgcnlem1.v . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
41, 2, 3isibl2 19611 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
5 0z 10249 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
65elexi 2925 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7 1ex 9042 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
8 ax-icn 9005 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
9 exp0 11341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 0 )  =  1 )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 0 )  =  1
1110itgvallem 19629 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) ) )
1211eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
13 exp1 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
148, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
1514itgvallem 19629 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
1615eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
176, 7, 12, 16ralpr 3821 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
183div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  /  1 )  =  B )
1918fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  1 ) )  =  ( Re `  B ) )
2019ibllem 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) )
2120mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2221fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )
23 itgcnlem.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2422, 23syl6eqr 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  =  R )
2524eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  R  e.  RR ) )
26 itgcnlem.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
27 imval 11867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
283, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  _i ) ) )
2928ibllem 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) )
3029mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )
3130fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) ) )
3226, 31syl5req 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  =  T )
3332eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  T  e.  RR ) )
3425, 33anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( R  e.  RR  /\  T  e.  RR ) ) )
3517, 34syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR ) ) )
36 2nn0 10194 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
3736elexi 2925 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
38 3nn0 10195 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
3938elexi 2925 . . . . . . . 8  |-  3  e.  _V
40 i2 11436 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
4140itgvallem 19629 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
4241eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
43 i3 11437 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
4443itgvallem 19629 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
4544eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4637, 39, 42, 45ralpr 3821 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
47 itgcnlem.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
483renegd 11969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  -u ( Re `  B ) )
49 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
5049negnegi 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u 1  =  1
5150oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( -u B  / 
1 )
523negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
5352div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  1 )  =  -u B )
5451, 53syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  -u B
)
5549negcli 9324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
56 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  =/=  0
5749, 56negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  =/=  0
58 div2neg 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u 1 )  =  ( B  /  -u 1
) )
5955, 57, 58mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
603, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u 1
)  =  ( B  /  -u 1 ) )
6154, 60eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  =  ( B  /  -u 1 ) )
6261fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  -u B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
6348, 62eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Re `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) )
6463ibllem 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Re `  B ) ) , 
-u ( Re `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ,  0 ) )
6564mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u 1
) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )
6665fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) ) )
6747, 66syl5req 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  =  S )
6867eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  S  e.  RR ) )
69 itgcnlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
70 imval 11867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u B  e.  CC  ->  ( Im `  -u B
)  =  ( Re
`  ( -u B  /  _i ) ) )
7152, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  ( Re `  ( -u B  /  _i ) ) )
723imnegd 11970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  -u B )  =  -u ( Im `  B ) )
738negnegi 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u -u _i  =  _i
7473eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _i  =  -u -u _i
7574oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u B  /  _i )  =  ( -u B  /  -u -u _i )
768negcli 9324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  e.  CC
77 ine0 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  =/=  0
788, 77negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u _i  =/=  0
79 div2neg 9693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  -u _i  =/=  0 )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8076, 78, 79mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
813, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  -u -u _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8275, 81syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  /  _i )  =  ( B  /  -u _i ) )
8382fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( -u B  /  _i ) )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
8471, 72, 833eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  B )  =  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) )
8584ibllem 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u ( Im `  B ) ) , 
-u ( Im `  B ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) )
8685mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )
8786fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) ) )
8869, 87syl5req 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  =  U )
8988eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  U  e.  RR ) )
9068, 89anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  -u 1 ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  /  -u 1 ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  -u _i ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
9146, 90syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ 2 ,  3 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
9235, 91anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR )  /\  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
93 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
94 3re 10027 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  RR
95 1lt3 10100 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  3
9693, 94, 95ltleii 9152 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  3
97 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
98 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9997, 98eleqtri 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
10038nn0zi 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
101 elfz5 11007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
10299, 100, 101mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
10396, 102mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
104 fzsplit 11033 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) ) )
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  (
( 1  +  1 ) ... 3 ) )
106 fzpr 11057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1075, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
108 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 0  +  1 )
109108oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... 1 )  =  ( 0 ... (
0  +  1 ) )
110108preq2i 3847 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 }  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
111107, 109, 1103eqtr4i 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... 1 )  =  { 0 ,  1 }
112 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
113 fzpr 11057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  (
2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) } )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ... ( 2  +  1 ) )  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
115 1p1e2 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  +  1 )  =  2
116 df-3 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
117115, 116oveq12i 6052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  ( 2 ... (
2  +  1 ) )
118116preq2i 3847 . . . . . . . . . 10  |-  { 2 ,  3 }  =  { 2 ,  ( 2  +  1 ) }
119114, 117, 1183eqtr4i 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  +  1 ) ... 3 )  =  { 2 ,  3 }
120111, 119uneq12i 3459 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... 1 )  u.  ( ( 1  +  1 ) ... 3 ) )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
121105, 120eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... 3 )  =  ( { 0 ,  1 }  u.  {
2 ,  3 } )
122121raleqi 2868 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
123 ralunb 3488 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( {
0 ,  1 }  u.  { 2 ,  3 } ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
124122, 123bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  A. k  e.  { 2 ,  3 }  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
125 an4 798 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  <->  ( ( R  e.  RR  /\  T  e.  RR )  /\  ( S  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) )
12692, 124, 1253bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
127126anbi2d 685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) ) )
128 3anass 940 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
129127, 128syl6bbr 255 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
1304, 129bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( R  e.  RR  /\  S  e.  RR )  /\  ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666    u. cun 3278   ifcif 3699   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    <_ cle 9077   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   Recre 11857   Imcim 11858  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462
This theorem is referenced by:  iblcnlem  19633  iblcn  19643  bddiblnc  26174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-ibl 19468
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