Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapval 15515
 Description: Value of the arithmetic progression function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapval ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐷,𝑚   𝑚,𝐾   𝑚,𝑋

Proof of Theorem vdwapval
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwapfval 15513 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
213ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (AP‘𝐾) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))))
32oveqd 6566 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷))
4 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷))
5 oveq12 6558 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐴 ∧ (𝑚 · 𝑑) = (𝑚 · 𝐷)) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
64, 5sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)) = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
76mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
87rneqd 5274 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐴𝑑 = 𝐷) → ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑)))) = (𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))
10 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (0...(𝐾 − 1)) ∈ V
1110mptex 6390 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
1211rnex 6992 . . . . . . 7 ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) ∈ V
138, 9, 12ovmpt2a 6689 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
14133adant1 1072 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(𝑎 ∈ ℕ, 𝑑 ∈ ℕ ↦ ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝑎 + (𝑚 · 𝑑))))𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
153, 14eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
16 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
1716rnmpt 5292 . . . 4 ran (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↦ (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}
1815, 17syl6eq 2660 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) = {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))})
1918eleq2d 2673 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))}))
20 id 22 . . . . 5 (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
21 ovex 6577 . . . . 5 (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ∈ V
2220, 21syl6eqel 2696 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
2322rexlimivw 3011 . . 3 (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) → 𝑋 ∈ V)
24 eqeq1 2614 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
2524rexbidv 3034 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
2623, 25elab3 3327 . 2 (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))} ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷)))
2719, 26syl6bb 275 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ (𝐴(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑋 = (𝐴 + (𝑚 · 𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  APcvdwa 15507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-vdwap 15510 This theorem is referenced by:  vdwapun  15516  vdwap0  15518  vdwmc2  15521  vdwlem1  15523  vdwlem2  15524  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530
 Copyright terms: Public domain W3C validator