Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonicclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonicclem1 39574
 Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonicclem1.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonicclem1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonicclem1.u (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonicclem1.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
vonicclem1.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonicclem1.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
vonicclem1.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
Assertion
Ref Expression
vonicclem1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem vonicclem1
StepHypRef Expression
1 vonicclem1.s . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))))
3 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 vonicclem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
6 vonicclem1.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
9 vonicclem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
11 vonicclem1.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1312adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
14 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1514ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1613, 15readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
1816, 17fmptd 6292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
19 vonicclem1.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))))
216mptexd 6391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
2320, 22fvmpt2d 6202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))))
2423feq1d 5943 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
2518, 24mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
267, 8, 10, 25hoimbl 39521 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
2726elexd 3187 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) ∈ V)
285, 27fvmpt2d 6202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
293, 28syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)))
3029fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
31 vonicclem1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ≠ ∅)
333, 25syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
34 eqid 2610 . . . . . . 7 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))
357, 32, 10, 33, 34vonn0hoi 39561 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))))
3610ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
373, 36syldanl 731 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
3833ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ)
39 volico 38876 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
4037, 38, 39syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0))
413, 13syldanl 731 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
42 vonicclem1.t . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
4342adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
44 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
4544rpreccld 11758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4645ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4741, 46ltaddrpd 11781 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) < ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
4816elexd 3187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
4923, 48fvmpt2d 6202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
503, 49syldanl 731 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)))
5147, 50breqtrrd 4611 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘))
5237, 41, 38, 43, 51lelttrd 10074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘))
5352iftrued 4044 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → if((𝐴𝑘) < ((𝐶𝑛)‘𝑘), (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)), 0) = (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5440, 53eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5554prodeq2dv 14492 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)((𝐶𝑛)‘𝑘))) = ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5630, 35, 553eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)))
5749oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴𝑘)))
5813recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
5915recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
6036recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6158, 59, 60addsubd 10292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐵𝑘) + (1 / 𝑛)) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6257, 61eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6362prodeq2dv 14492 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘) − (𝐴𝑘)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6456, 63eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
6564mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))))
662, 65eqtrd 2644 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))))
67 nfv 1830 . . 3 𝑘𝜑
689ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
6912, 68resubcld 10337 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
7069recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
71 eqid 2610 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛)))
7267, 6, 70, 71fprodaddrecnncnv 38797 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)) + (1 / 𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
7366, 72eqbrtrd 4605 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048   ⇝ cli 14063  ∏cprod 14474  volcvol 23039  volncvoln 39428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429 This theorem is referenced by:  vonicclem2  39575
 Copyright terms: Public domain W3C validator