Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volico 38876
 Description: The measure of left closed, right open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
volico ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))

Proof of Theorem volico
StepHypRef Expression
1 rexr 9964 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 rexr 9964 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
433ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6 snunioo1 38585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
87eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
98fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
10 ioombl 23140 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
12 snmbl 38855 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → {𝐴} ∈ dom vol)
13123ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → {𝐴} ∈ dom vol)
14 lbioo 12077 . . . . . . . 8 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
15 disjsn 4192 . . . . . . . 8 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15mpbir 220 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
18 ioovolcl 23144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
19183adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
20 volsn 38859 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) = 0)
21 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2220, 21eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
23223ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)
24 volun 23120 . . . . . 6 ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
2511, 13, 17, 19, 23, 24syl32anc 1326 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})))
26 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2826, 27, 5ltled 10064 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
29 volioo 38840 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
31203ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘{𝐴}) = 0)
3230, 31oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = ((𝐵𝐴) + 0))
3327recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
34 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
35343ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
3633, 35subcld 10271 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
3736addid1d 10115 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵𝐴) + 0) = (𝐵𝐴))
3832, 37eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴})) = (𝐵𝐴))
399, 25, 383eqtrd 2648 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
40393expa 1257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
41 iftrue 4042 . . . 4 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
4241adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
4340, 42eqtr4d 2647 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
44 simpl 472 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
45 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
4644simprd 478 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4744simpld 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4846, 47lenltd 10062 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4945, 48mpbird 246 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
50 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
511ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
523ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
53 ico0 12092 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5451, 52, 53syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5550, 54mpbird 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5655fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = (vol‘∅))
57 vol0 38851 . . . . . 6 (vol‘∅) = 0
5857a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘∅) = 0)
5956, 58eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
6044, 49, 59syl2anc 691 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = 0)
61 iffalse 4045 . . . 4 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
6261adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
6360, 62eqtr4d 2647 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
6443, 63pm2.61dan 828 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  sublevolico  38877  voliooico  38885  voliccico  38892  volicorecl  39436  hoiprodcl  39437  hoicvrrex  39446  volicon0  39465  hoiprodcl3  39470  volicore  39471  hoidmvcl  39472  hoidmvval0  39477  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1le  39484  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  hoidmvlelem4  39488  hspmbllem1  39516  volico2  39531  ovolval2lem  39533  vonioolem1  39571  vonioo  39573  vonicclem1  39574
 Copyright terms: Public domain W3C validator