MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecre 10934
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrecre (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . 2 1 ∈ ℝ
2 nndivre 10933 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31, 2mpan 702 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816   / cdiv 10563  cn 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898
This theorem is referenced by:  nnrecred  10943  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  fldiv  12521  supcvg  14427  harmonic  14430  rpnnen2lem11  14792  flodddiv4  14975  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  prmrec  15464  met1stc  22136  pcoass  22632  bcthlem4  22932  vitali  23188  ismbf3d  23227  itg2seq  23315  itg2gt0  23333  plyeq0lem  23770  logtayllem  24205  cxproot  24236  cxpeq  24298  quartlem3  24386  leibpi  24469  emcllem4  24525  emcllem6  24527  basellem6  24612  mulogsumlem  25020  pntpbnd2  25076  ipasslem4  27073  ipasslem5  27074  minvecolem5  27121  subfaclim  30424  faclim  30885  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  xrralrecnnle  38543  xrralrecnnge  38554  iooiinicc  38616  iooiinioc  38630  stirlinglem1  38967  iinhoiicclem  39564  iunhoiioolem  39566  iccvonmbllem  39569  vonioolem1  39571  vonioolem2  39572  vonicclem1  39574  vonicclem2  39575  preimageiingt  39607  preimaleiinlt  39608  salpreimagtge  39611  salpreimaltle  39612  issmfltle  39622  smflimlem6  39662
  Copyright terms: Public domain W3C validator