Theorem xralrple2 37652

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 11532. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple2.x	|- F/ x ph
xralrple2.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xralrple2.b	|- ( ph -> B e. ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
xralrple2	|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem xralrple2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple2.x	. . . . 5 |- F/ x ph
2		nfv 1772	. . . . 5 |- F/ x A <_ B
3	1, 2	nfan 2022	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ A <_ B )
4		xralrple2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR* )
5	4	ad2antrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
6		icossxr 11753	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
7		xralrple2.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9	6, 8	sseldi 3442	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
10		1red 9689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
11		rpre 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
12	11	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
13	10, 12	readdcld 9701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 + x ) e. RR )
14		rge0ssre 11775	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
15	14, 7	sseldi 3442	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
16	15	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
17	13, 16	remulcld 9702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR )
18	17	rexrd 9721	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR* )
19	18	adantlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) e. RR* )
20		simplr 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ B )
21	15	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
22		1red 9689	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> 1 e. RR )
23	22, 11	readdcld 9701	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( 1 + x ) e. RR )
24	23	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 + x ) e. RR )
25		0xr 9718	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 e. RR* )
27		pnfxr 11446	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> +oo e. RR* )
29		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
30		icogelb 11720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ B )
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ B )
32	7, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ B )
33	32	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ B )
34		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. RR+ )
35	22, 34	ltaddrpd 11405	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> 1 < ( 1 + x ) )
36	22, 23, 35	ltled 9814	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> 1 <_ ( 1 + x ) )
37	36	adantl 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> 1 <_ ( 1 + x ) )
38	21, 24, 33, 37	lemulge12d 10578	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
39	5, 9, 19, 20, 38	xrletrd 11493	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
40	39	ex 440	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( x e. RR+ -> A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )
41	3, 40	ralrimi 2800	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
42	41	ex 440	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )
43	4	ad3antrrr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A e. RR* )
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> B = 0 )
45		0red 9675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> 0 e. RR )
46	44, 45	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = 0 -> B e. RR )
47	46	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> B e. RR )
48		rpre 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
49	48	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y e. RR )
50	47, 49	readdcld 9701	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR )
51	50	rexrd 9721	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR* )
52	51	adantll 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> ( B + y ) e. RR* )
53	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> 0 e. RR* )
54		1rp 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> 1 e. RR+ )
56		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
57		oveq2 6328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1 -> ( 1 + x ) = ( 1 + 1 ) )
58	57	oveq1d 6335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1 -> ( ( 1 + x ) x. B ) = ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
59	58	breq2d 4430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) <-> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) ) )
60	59	rspcva 3160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
61	55, 56, 60	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ ( ( 1 + 1 ) x. B ) )
62		1p1e2 10756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> ( 1 + 1 ) = 2 )
64	63	oveq1d 6335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> ( ( 1 + 1 ) x. B ) = ( 2 x. B ) )
65	61, 64	breqtrd 4443	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
66	65	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
67		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
68		simpl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( 2 x. B ) )
69		oveq2 6328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = 0 -> ( 2 x. B ) = ( 2 x. 0 ) )
70		2cnd 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = 0 -> 2 e. CC )
71	70	mul01d 9863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B = 0 -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
72	69, 71	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> ( 2 x. B ) = 0 )
73	72	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> ( 2 x. B ) = 0 )
74	68, 73	breqtrd 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A <_ ( 2 x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
75	66, 67, 74	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
76	75	ad4ant24 1248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A <_ 0 )
77		rpgt0 11347	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
78	77	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> 0 < y )
79		oveq1 6327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = 0 -> ( B + y ) = ( 0 + y ) )
80	79	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( B + y ) = ( 0 + y ) )
81	48	recnd 9700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
82	81	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y e. CC )
83	82	addid2d 9865	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> ( 0 + y ) = y )
84	80, 83	eqtr2d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> y = ( B + y ) )
85	78, 84	breqtrd 4443	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B = 0 ) -> 0 < ( B + y ) )
86	85	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> 0 < ( B + y ) )
87	43, 53, 52, 76, 86	xrlelttrd 11491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A < ( B + y ) )
88	43, 52, 87	xrltled 37559	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B = 0 ) -> A <_ ( B + y ) )
89		simpl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) )
90	15	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B e. RR )
91		0red 9675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 e. RR )
92	32	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 <_ B )
93	44	necon3bi 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. B = 0 -> B =/= 0 )
94	93	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B =/= 0 )
95	91, 90, 92, 94	leneltd 9820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> 0 < B )
96	90, 95	elrpd 11372	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B = 0 ) -> B e. RR+ )
97	96	ad4ant14 1243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> B e. RR+ )
98		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> y e. RR+ )
99		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> B e. RR+ )
100	98, 99	rpdivcld 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. RR+ )
101		simpll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) )
102		oveq2 6328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y / B ) -> ( 1 + x ) = ( 1 + ( y / B ) ) )
103	102	oveq1d 6335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / B ) -> ( ( 1 + x ) x. B ) = ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
104	103	breq2d 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / B ) -> ( A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) <-> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) ) )
105	104	rspcva 3160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y / B ) e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
106	100, 101, 105	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
107	106	adantlll 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) )
108		1cnd 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> 1 e. CC )
109	81	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> y e. CC )
110		rpcn 11344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B e. CC )
111	110	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> B e. CC )
112		rpne0 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B =/= 0 )
113	112	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> B =/= 0 )
114	109, 111, 113	divcld 10416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( y / B ) e. CC )
115	108, 114, 111	adddird 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( ( 1 x. B ) + ( ( y / B ) x. B ) ) )
116	111	mulid2d 9692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( 1 x. B ) = B )
117	109, 111, 113	divcan1d 10417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( y / B ) x. B ) = y )
118	116, 117	oveq12d 6338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 x. B ) + ( ( y / B ) x. B ) ) = ( B + y ) )
119		eqidd 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( B + y ) = ( B + y ) )
120	115, 118, 119	3eqtrd 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( B + y ) )
121	120	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( y / B ) ) x. B ) = ( B + y ) )
122	107, 121	breqtrd 4443	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ B e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) )
123	89, 97, 122	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) /\ -. B = 0 ) -> A <_ ( B + y ) )
124	88, 123	pm2.61dan 805	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) )
125	124	ralrimiva 2814	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) )
126		xralrple 11532	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
127	4, 15, 126	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
128	127	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
129	125, 128	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) -> A <_ B )
130	129	ex 440	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) -> A <_ B ) )
131	42, 130	impbid 195	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( ( 1 + x ) x. B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   F/wnf 1678   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571   + caddc 9573   x. cmul 9575   +oocpnf 9703   RR*cxr 9705   < clt 9706   <_ cle 9707   / cdiv 10302   2c2 10692   RR+crp 11336   [,)cico 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-ico 11675

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  38528