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Theorem xralrple2 37652
Description: Show that  A is less than  B by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 11532. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple2.x  |-  F/ x ph
xralrple2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
xralrple2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
Assertion
Ref Expression
xralrple2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem xralrple2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple2.x . . . . 5  |-  F/ x ph
2 nfv 1772 . . . . 5  |-  F/ x  A  <_  B
31, 2nfan 2022 . . . 4  |-  F/ x
( ph  /\  A  <_  B )
4 xralrple2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
54ad2antrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR* )
6 icossxr 11753 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR*
7 xralrple2.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
87ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
96, 8sseldi 3442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
10 1red 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
11 rpre 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
1211adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
1310, 12readdcld 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  x )  e.  RR )
14 rge0ssre 11775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1514, 7sseldi 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
1615adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1713, 16remulcld 9702 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1  +  x )  x.  B )  e.  RR )
1817rexrd 9721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1  +  x )  x.  B )  e. 
RR* )
1918adantlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
( 1  +  x
)  x.  B )  e.  RR* )
20 simplr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  <_  B )
2115ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
22 1red 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
2322, 11readdcld 9701 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  +  x )  e.  RR )
2423adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  +  x )  e.  RR )
25 0xr 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  e. 
RR* )
27 pnfxr 11446 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  -> +oo  e.  RR* )
29 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
30 icogelb 11720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  0  <_  B )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  0  <_  B )
327, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
3332ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
34 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR+ )
3522, 34ltaddrpd 11405 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  < 
( 1  +  x
) )
3622, 23, 35ltled 9814 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  <_ 
( 1  +  x
) )
3736adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  <_  ( 1  +  x
) )
3821, 24, 33, 37lemulge12d 10578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B
) )
395, 9, 19, 20, 38xrletrd 11493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  <_  B )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B
) )
4039ex 440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( x  e.  RR+  ->  A  <_  ( ( 1  +  x
)  x.  B ) ) )
413, 40ralrimi 2800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  (
( 1  +  x
)  x.  B ) )
4241ex 440 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B ) ) )
434ad3antrrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  ->  A  e.  RR* )
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  B  =  0 )
45 0red 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  0  e.  RR )
4644, 45eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  0  ->  B  e.  RR )
4746adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  ->  B  e.  RR )
48 rpre 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4948adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
y  e.  RR )
5047, 49readdcld 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  y )  e.  RR )
5150rexrd 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  y )  e.  RR* )
5251adantll 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  y )  e.  RR* )
5325a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  -> 
0  e.  RR* )
54 1rp 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  1  e.  RR+ )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  A. x  e.  RR+  A  <_  (
( 1  +  x
)  x.  B ) )
57 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  (
1  +  x )  =  ( 1  +  1 ) )
5857oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( 1  +  x
)  x.  B )  =  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) )
5958breq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B )  <->  A  <_  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) ) )
6059rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  ->  A  <_  ( ( 1  +  1 )  x.  B
) )
6155, 56, 60syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  A  <_  ( ( 1  +  1 )  x.  B ) )
62 1p1e2 10756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
6463oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  ( (
1  +  1 )  x.  B )  =  ( 2  x.  B
) )
6561, 64breqtrd 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
)  ->  A  <_  ( 2  x.  B ) )
6665adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  ( 2  x.  B ) )
67 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
68 simpl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( 2  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  (
2  x.  B ) )
69 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  0  ->  (
2  x.  B )  =  ( 2  x.  0 ) )
70 2cnd 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  2  e.  CC )
7170mul01d 9863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  0  ->  (
2  x.  0 )  =  0 )
7269, 71eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  (
2  x.  B )  =  0 )
7372adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  <_  ( 2  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  ( 2  x.  B )  =  0 )
7468, 73breqtrd 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  <_  ( 2  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  0
)
7566, 67, 74syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  0 )
7675ad4ant24 1248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  0 )
77 rpgt0 11347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
7877adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
0  <  y )
79 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  y )  =  ( 0  +  y ) )
8079adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  y )  =  ( 0  +  y ) )
8148recnd 9700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
8281adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
y  e.  CC )
8382addid2d 9865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
( 0  +  y )  =  y )
8480, 83eqtr2d 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
y  =  ( B  +  y ) )
8578, 84breqtrd 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  =  0 )  -> 
0  <  ( B  +  y ) )
8685adantll 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  -> 
0  <  ( B  +  y ) )
8743, 53, 52, 76, 86xrlelttrd 11491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  ->  A  <  ( B  +  y ) )
8843, 52, 87xrltled 37559 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  =  0 )  ->  A  <_  ( B  +  y ) )
89 simpl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  -.  B  =  0 )  ->  ( ( ph  /\ 
A. x  e.  RR+  A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B ) )  /\  y  e.  RR+ ) )
9015adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  ->  B  e.  RR )
91 0red 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
9232adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  -> 
0  <_  B )
9344necon3bi 2662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  B  =  0  ->  B  =/=  0 )
9493adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  ->  B  =/=  0 )
9591, 90, 92, 94leneltd 9820 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  -> 
0  <  B )
9690, 95elrpd 11372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  =  0 )  ->  B  e.  RR+ )
9796ad4ant14 1243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  -.  B  =  0 )  ->  B  e.  RR+ )
98 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
99 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
10098, 99rpdivcld 11392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( y  /  B
)  e.  RR+ )
101 simpll 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )
102 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  /  B )  ->  (
1  +  x )  =  ( 1  +  ( y  /  B
) ) )
103102oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  /  B )  ->  (
( 1  +  x
)  x.  B )  =  ( ( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B ) )
104103breq2d 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  /  B )  ->  ( A  <_  ( ( 1  +  x )  x.  B )  <->  A  <_  ( ( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B ) ) )
105104rspcva 3160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  /  B
)  e.  RR+  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  ->  A  <_  ( ( 1  +  ( y  /  B
) )  x.  B
) )
106100, 101, 105syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <_  ( ( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B ) )
107106adantlll 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <_  ( ( 1  +  ( y  /  B
) )  x.  B
) )
108 1cnd 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
10981adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  y  e.  CC )
110 rpcn 11344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
111110adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
112 rpne0 11351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
113112adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  =/=  0 )
114109, 111, 113divcld 10416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
y  /  B )  e.  CC )
115108, 114, 111adddird 9699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B )  =  ( ( 1  x.  B )  +  ( ( y  /  B )  x.  B
) ) )
116111mulid2d 9692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
1  x.  B )  =  B )
117109, 111, 113divcan1d 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( y  /  B
)  x.  B )  =  y )
118116, 117oveq12d 6338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  x.  B
)  +  ( ( y  /  B )  x.  B ) )  =  ( B  +  y ) )
119 eqidd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( B  +  y )  =  ( B  +  y ) )
120115, 118, 1193eqtrd 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B )  =  ( B  +  y ) )
121120adantll 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  +  ( y  /  B ) )  x.  B )  =  ( B  +  y ) )
122107, 121breqtrd 4443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <_  ( B  +  y ) )
12389, 97, 122syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  -.  B  =  0 )  ->  A  <_  ( B  +  y )
)
12488, 123pm2.61dan 805 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  <_  ( B  +  y ) )
125124ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_  (
( 1  +  x
)  x.  B ) )  ->  A. y  e.  RR+  A  <_  ( B  +  y )
)
126 xralrple 11532 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  A. y  e.  RR+  A  <_  ( B  +  y )
) )
1274, 15, 126syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  A. y  e.  RR+  A  <_ 
( B  +  y ) ) )
128127adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_  (
( 1  +  x
)  x.  B ) )  ->  ( A  <_  B  <->  A. y  e.  RR+  A  <_  ( B  +  y ) ) )
129125, 128mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR+  A  <_  (
( 1  +  x
)  x.  B ) )  ->  A  <_  B )
130129ex 440 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  A  <_  ( (
1  +  x )  x.  B )  ->  A  <_  B ) )
13142, 130impbid 195 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  A. x  e.  RR+  A  <_ 
( ( 1  +  x )  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   F/wnf 1678    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    x. cmul 9575   +oocpnf 9703   RR*cxr 9705    < clt 9706    <_ cle 9707    / cdiv 10302   2c2 10692   RR+crp 11336   [,)cico 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-sup 7987  df-inf 7988  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-q 11299  df-rp 11337  df-ico 11675
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