Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mod0mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mod0mul 42108
 Description: If an integer is 0 modulo a positive integer, this integer must be the product of another integer and the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod0mul ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mod0mul
StepHypRef Expression
1 zre 11258 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnrp 11718 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 mod0 12537 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
41, 2, 3syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
5 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ)
6 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝑥 · 𝑁) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
76eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
87adantl 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = (𝐴 / 𝑁)) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
9 zcn 11259 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 nncn 10905 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13 nnne0 10930 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
1510, 12, 14divcan1d 10681 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
1716eqcomd 2616 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
185, 8, 17rspcedvd 3289 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
1918ex 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
204, 19sylbid 229 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by:  m1modmmod  42110
 Copyright terms: Public domain W3C validator