MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 10129
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 10024 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303    x. cmul 9308    / cdiv 10014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10244  lediv23  10245  recp1lt1  10251  ledivp1  10255  qmulz  10977  iccf1o  11450  ltdifltdiv  11699  bcpasc  12118  sqrdiv  12776  geo2sum  13354  sqr2irrlem  13551  dvdsval2  13559  bitsres  13690  bitsuz  13691  mulgcddvds  13811  qredeq  13813  isprm6  13816  qmuldeneqnum  13846  pcqdiv  13945  pockthlem  13987  prmreclem3  14000  4sqlem5  14024  4sqlem12  14038  4sqlem15  14041  sylow3lem4  16150  odadd1  16351  odadd2  16352  gexexlem  16355  pgpfac1lem3a  16599  pgpfac1lem3  16600  znidomb  18016  znrrg  18020  nmoleub2lem  20691  nmoleub3  20696  i1fmullem  21194  mbfi1fseqlem3  21217  mbfi1fseqlem4  21218  mbfi1fseqlem5  21219  dvcnp2  21416  dvlip  21487  plydivlem4  21784  cosne0  22008  advlogexp  22122  root1id  22214  ang180lem1  22227  ang180lem3  22229  angpieqvd  22248  chordthmlem  22249  dcubic2  22261  dcubic  22263  dquartlem2  22269  cxploglim2  22394  fsumdvdsdiaglem  22545  logexprlim  22586  bposlem3  22647  lgslem1  22657  lgsquadlem1  22715  log2sumbnd  22815  chpdifbndlem1  22824  selberg4lem1  22831  pntrlog2bndlem3  22850  pntibndlem2  22862  pntlemr  22873  ostth2lem3  22906  ostth2  22908  ostth3  22909  axcontlem7  23238  blocnilem  24226  qqhval2lem  26432  cndprobin  26839  faclimlem1  27571  faclimlem3  27573  itg2addnclem3  28471  nn0prpwlem  28543  bfplem1  28747  rrncmslem  28757  rrnequiv  28760  pellexlem6  29201  jm2.19  29368  jm2.27c  29382  hashgcdlem  29591  stoweidlem42  29863  stirlinglem3  29897  sigarcol  29926  sharhght  29927  sineq0ALT  31769  bj-ldiv  32690
  Copyright terms: Public domain W3C validator