MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 10312
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 10207 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1223 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483    x. cmul 9488    / cdiv 10197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10427  lediv23  10428  recp1lt1  10434  ledivp1  10438  qmulz  11176  iccf1o  11655  ltdifltdiv  11924  bcpasc  12356  sqrdiv  13051  geo2sum  13636  sqr2irrlem  13833  dvdsval2  13841  bitsres  13973  bitsuz  13974  mulgcddvds  14095  qredeq  14097  isprm6  14100  qmuldeneqnum  14130  pcqdiv  14231  pockthlem  14273  prmreclem3  14286  4sqlem5  14310  4sqlem12  14324  4sqlem15  14327  sylow3lem4  16441  odadd1  16642  odadd2  16643  gexexlem  16646  pgpfac1lem3a  16912  pgpfac1lem3  16913  znidomb  18362  znrrg  18366  nmoleub2lem  21327  nmoleub3  21332  i1fmullem  21831  mbfi1fseqlem3  21854  mbfi1fseqlem4  21855  mbfi1fseqlem5  21856  dvcnp2  22053  dvlip  22124  plydivlem4  22421  cosne0  22645  advlogexp  22759  root1id  22851  ang180lem1  22864  ang180lem3  22866  angpieqvd  22885  chordthmlem  22886  dcubic2  22898  dcubic  22900  dquartlem2  22906  cxploglim2  23031  fsumdvdsdiaglem  23182  logexprlim  23223  bposlem3  23284  lgslem1  23294  lgsquadlem1  23352  log2sumbnd  23452  chpdifbndlem1  23461  selberg4lem1  23468  pntrlog2bndlem3  23487  pntibndlem2  23499  pntlemr  23510  ostth2lem3  23543  ostth2  23545  ostth3  23546  axcontlem7  23944  blocnilem  25383  qqhval2lem  27586  cndprobin  28001  faclimlem1  28733  faclimlem3  28735  itg2addnclem3  29634  nn0prpwlem  29706  bfplem1  29910  rrncmslem  29920  rrnequiv  29923  pellexlem6  30363  jm2.19  30530  jm2.27c  30544  hashgcdlem  30753  stoweidlem42  31299  stirlinglem3  31333  dirkertrigeq  31358  dirkercncflem2  31361  dirkercncflem4  31363  fourierdlem4  31368  fourierdlem63  31427  fourierdlem65  31429  fourierdlem83  31447  fourierdlem89  31453  fourierdlem90  31454  fourierdlem91  31455  sigarcol  31505  sharhght  31506  sineq0ALT  32694  bj-ldiv  33623
  Copyright terms: Public domain W3C validator