MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 10364
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 10259 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1232 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524    x. cmul 9529    / cdiv 10249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10478  lediv23  10479  recp1lt1  10485  ledivp1  10489  qmulz  11232  iccf1o  11720  ltdifltdiv  12006  bcpasc  12445  sqrtdiv  13250  geo2sum  13836  sqr2irrlem  14192  dvdsval2  14200  bitsres  14334  bitsuz  14335  mulgcddvds  14456  qredeq  14458  isprm6  14461  qmuldeneqnum  14491  pcqdiv  14592  pockthlem  14634  prmreclem3  14647  4sqlem5  14671  4sqlem12  14685  4sqlem15  14688  sylow3lem4  16976  odadd1  17180  odadd2  17181  gexexlem  17184  pgpfac1lem3a  17449  pgpfac1lem3  17450  znidomb  18900  znrrg  18904  nmoleub2lem  21891  nmoleub3  21896  i1fmullem  22395  mbfi1fseqlem3  22418  mbfi1fseqlem4  22419  mbfi1fseqlem5  22420  dvcnp2  22617  dvlip  22688  plydivlem4  22986  cosne0  23211  advlogexp  23332  root1id  23426  cxplogb  23455  ang180lem1  23470  ang180lem3  23472  angpieqvd  23489  chordthmlem  23490  dcubic2  23502  dcubic  23504  dquartlem2  23510  cxploglim2  23636  fsumdvdsdiaglem  23842  logexprlim  23883  bposlem3  23944  lgslem1  23954  lgsquadlem1  24012  log2sumbnd  24112  chpdifbndlem1  24121  selberg4lem1  24128  pntrlog2bndlem3  24147  pntibndlem2  24159  pntlemr  24170  ostth2lem3  24203  ostth2  24205  ostth3  24206  axcontlem7  24702  blocnilem  26146  qqhval2lem  28427  cndprobin  28892  faclimlem1  29965  faclimlem3  29967  nn0prpwlem  30563  bj-ldiv  31248  itg2addnclem3  31454  bfplem1  31613  rrncmslem  31623  rrnequiv  31626  pellexlem6  35144  jm2.19  35310  jm2.27c  35324  hashgcdlem  35534  binomcxplemnotnn0  36122  sineq0ALT  36781  stoweidlem42  37205  stirlinglem3  37239  dirkertrigeq  37264  dirkercncflem2  37267  dirkercncflem4  37269  fourierdlem4  37274  fourierdlem63  37333  fourierdlem65  37335  fourierdlem83  37353  fourierdlem89  37359  fourierdlem90  37360  fourierdlem91  37361  etransclem38  37436  sigarcol  37462  sharhght  37463  xp1d2m1eqxm1d2  37675  proththd  37873  mod0mul  38655  nn0sumshdiglemA  38763
  Copyright terms: Public domain W3C validator