MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 10095
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 9990 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1211 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269    x. cmul 9274    / cdiv 9980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10210  lediv23  10211  recp1lt1  10217  ledivp1  10221  qmulz  10943  iccf1o  11415  ltdifltdiv  11661  bcpasc  12080  sqrdiv  12738  geo2sum  13315  sqr2irrlem  13512  dvdsval2  13520  bitsres  13651  bitsuz  13652  mulgcddvds  13772  qredeq  13774  isprm6  13777  qmuldeneqnum  13807  pcqdiv  13906  pockthlem  13948  prmreclem3  13961  4sqlem5  13985  4sqlem12  13999  4sqlem15  14002  sylow3lem4  16108  odadd1  16309  odadd2  16310  gexexlem  16313  pgpfac1lem3a  16550  pgpfac1lem3  16551  znidomb  17835  znrrg  17839  nmoleub2lem  20510  nmoleub3  20515  i1fmullem  21013  mbfi1fseqlem3  21036  mbfi1fseqlem4  21037  mbfi1fseqlem5  21038  dvcnp2  21235  dvlip  21306  plydivlem4  21646  cosne0  21870  advlogexp  21984  root1id  22076  ang180lem1  22089  ang180lem3  22091  angpieqvd  22110  chordthmlem  22111  dcubic2  22123  dcubic  22125  dquartlem2  22131  cxploglim2  22256  fsumdvdsdiaglem  22407  logexprlim  22448  bposlem3  22509  lgslem1  22519  lgsquadlem1  22577  log2sumbnd  22677  chpdifbndlem1  22686  selberg4lem1  22693  pntrlog2bndlem3  22712  pntibndlem2  22724  pntlemr  22735  ostth2lem3  22768  ostth2  22770  ostth3  22771  axcontlem7  23038  blocnilem  24026  qqhval2lem  26263  cndprobin  26664  faclimlem1  27395  faclimlem3  27397  itg2addnclem3  28286  nn0prpwlem  28358  bfplem1  28562  rrncmslem  28572  rrnequiv  28575  pellexlem6  29017  jm2.19  29184  jm2.27c  29198  hashgcdlem  29407  stoweidlem42  29680  stirlinglem3  29714  sigarcol  29743  sharhght  29744  sineq0ALT  31372  bj-ldiv  32166
  Copyright terms: Public domain W3C validator