MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Unicode version

Theorem divcan1d 9747
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 9643 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    / cdiv 9633
This theorem is referenced by:  ltdiv23  9857  lediv23  9858  recp1lt1  9864  ledivp1  9868  qmulz  10533  iccf1o  10995  bcpasc  11567  sqrdiv  12026  geo2sum  12605  sqr2irrlem  12802  dvdsval2  12810  bitsres  12940  bitsuz  12941  mulgcddvds  13059  qredeq  13061  isprm6  13064  qmuldeneqnum  13094  pcqdiv  13186  pockthlem  13228  prmreclem3  13241  4sqlem5  13265  4sqlem12  13279  4sqlem15  13282  sylow3lem4  15219  odadd1  15418  odadd2  15419  gexexlem  15422  pgpfac1lem3a  15589  pgpfac1lem3  15590  znidomb  16797  znrrg  16801  nmoleub2lem  19075  nmoleub3  19080  i1fmullem  19539  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  dvcnp2  19759  dvlip  19830  plydivlem4  20166  cosne0  20385  advlogexp  20499  root1id  20591  ang180lem1  20604  ang180lem3  20606  angpieqvd  20625  chordthmlem  20626  dcubic2  20637  dcubic  20639  dquartlem2  20645  cxploglim2  20770  fsumdvdsdiaglem  20921  logexprlim  20962  bposlem3  21023  lgslem1  21033  lgsquadlem1  21091  log2sumbnd  21191  chpdifbndlem1  21200  selberg4lem1  21207  pntrlog2bndlem3  21226  pntibndlem2  21238  pntlemr  21249  ostth2lem3  21282  ostth2  21284  ostth3  21285  blocnilem  22258  qqhval2lem  24318  cndprobin  24645  faclimlem1  25310  faclimlem3  25312  axcontlem7  25813  itg2addnclem3  26157  nn0prpwlem  26215  bfplem1  26421  rrncmslem  26431  rrnequiv  26434  pellexlem6  26787  jm2.19  26954  jm2.27c  26968  hashgcdlem  27384  stoweidlem42  27658  stirlinglem3  27692  sigarcol  27721  sharhght  27722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator