MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan1d Structured version   Unicode version

Theorem divcan1d 10391
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcan1d  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )

Proof of Theorem divcan1d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcan1 10286 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( A  /  B
)  x.  B )  =  A )
51, 2, 3, 4syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  x.  B
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614  (class class class)co 6305   CCcc 9544   0cc0 9546    x. cmul 9551    / cdiv 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277
This theorem is referenced by:  ltdiv23  10504  lediv23  10505  recp1lt1  10511  ledivp1  10515  qmulz  11274  iccf1o  11783  ltdifltdiv  12072  bcpasc  12512  sqrtdiv  13329  geo2sum  13928  sqr2irrlem  14299  dvdsval2  14307  bitsres  14446  bitsuz  14447  mulgcddvds  14660  qredeq  14662  isprm6  14665  qmuldeneqnum  14695  pcqdiv  14806  pockthlem  14848  prmreclem3  14861  4sqlem5  14885  4sqlem12  14899  4sqlem15OLD  14902  4sqlem15  14908  sylow3lem4  17281  odadd1  17485  odadd2  17486  gexexlem  17489  pgpfac1lem3a  17708  pgpfac1lem3  17709  znidomb  19130  znrrg  19134  nmoleub2lem  22126  nmoleub3  22131  i1fmullem  22650  mbfi1fseqlem3  22673  mbfi1fseqlem4  22674  mbfi1fseqlem5  22675  dvcnp2  22872  dvlip  22943  plydivlem4  23247  cosne0  23477  advlogexp  23598  root1id  23692  cxplogb  23721  ang180lem1  23736  ang180lem3  23738  angpieqvd  23755  chordthmlem  23756  dcubic2  23768  dcubic  23770  dquartlem2  23776  cxploglim2  23902  fsumdvdsdiaglem  24110  logexprlim  24151  bposlem3  24212  lgslem1  24222  lgsquadlem1  24280  log2sumbnd  24380  chpdifbndlem1  24389  selberg4lem1  24396  pntrlog2bndlem3  24415  pntibndlem2  24427  pntlemr  24438  ostth2lem3  24471  ostth2  24473  ostth3  24474  axcontlem7  24998  blocnilem  26443  qqhval2lem  28793  cndprobin  29275  faclimlem1  30386  faclimlem3  30388  nn0prpwlem  30983  bj-ldiv  31674  itg2addnclem3  31959  bfplem1  32118  rrncmslem  32128  rrnequiv  32131  pellexlem6  35648  jm2.19  35818  jm2.27c  35832  hashgcdlem  36044  binomcxplemnotnn0  36675  sineq0ALT  37307  xralrple2  37531  stoweidlem42  37843  stirlinglem3  37878  dirkertrigeq  37903  dirkercncflem2  37906  dirkercncflem4  37908  fourierdlem4  37913  fourierdlem63  37973  fourierdlem65  37975  fourierdlem83  37993  fourierdlem89  37999  fourierdlem90  38000  fourierdlem91  38001  etransclem38  38077  sigarcol  38344  sharhght  38345  xp1d2m1eqxm1d2  38581  proththd  38784  mod0mul  39944  nn0sumshdiglemA  40052
  Copyright terms: Public domain W3C validator