Theorem pgpfac1lem3 18299

Description: Lemma for pgpfac1 18302. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pgpfac1.l	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
pgpfac1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
pgpfac1.mg	⊢ · = (.g‘𝐺)
pgpfac1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw	⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
pgpfac1.d	⊢ 𝐷 = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡,𝐷,𝑤   𝑡, ⊕ ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑀(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3

Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		pgpfac1.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		ablgrp 18021	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		pgpfac1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	5	subgacs 17452	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7		acsmre 16136	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
9		pgpfac1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	5	subgss 17418	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐵)
12		pgpfac1.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
13		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
14	13	eldifad 3552	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
15		pgpfac1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
16		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
17	11, 16	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
18		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
19	18	mrcsncl 16095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	8, 17, 19	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	15, 20	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
23	22	lsmub1 17894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
24	21, 2, 23	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
25		pgpfac1.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊆ 𝑈)
26	24, 25	sstrd 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑈)
27		pgpfac1.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		pgpfac1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
29		pgpfac1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
30		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 pGrp 𝐺)
31		pgpfac1.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
32		pgpfac1.oe	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 𝐸)
33		pgpfac1.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑊) = { 0 })
34		pgpfac1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤 ⊊ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑤) → ¬ (𝑆 ⊕ 𝑊) ⊊ 𝑤))
35		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.g‘𝐺)
36		pgpfac1.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
37		pgpfac1.mw	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
38	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37	pgpfac1lem3a 18298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝐸 ∧ 𝑃 ∥ 𝑀))
39	38	simprd 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑀)
40		pgpprm 17831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
41	30, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
42		prmz 15227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
44		prmnn 15226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
45	41, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
46	45	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
47		dvdsval2 14824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
48	43, 46, 36, 47	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
49	39, 48	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)
50	17	snssd 4281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
51	8, 18, 50	mrcssidd 16108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
52	51, 15	syl6sseqr 3615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
53		snssg 4268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
54	16, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
55	52, 54	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
56	35	subgmulgcl 17430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
57	21, 49, 55, 56	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
58	26, 57	sseldd 3569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈)
59		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
60	59	subgcl 17427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
61	9, 14, 58, 60	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
62	12, 61	syl5eqel 2692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
63	11, 62	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
64	18	mrcsncl 16095	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65	8, 63, 64	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
66	22	lsmsubg2 18085	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	1, 2, 65, 66	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
68		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
69	68, 22, 2, 65	lsmelvalm 17889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦)))
70		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))
71	5, 35, 70, 18	cycsubg2 17454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
72	4, 63, 71	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
73	72	rexeqdv 3122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦)))
74		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
75	74	rgenw 2908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
76		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
77	76	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
78	70, 77	rexrnmpt 6277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
79	75, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
80	73, 79	syl6bb 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
81	80	rexbidv 3034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
82	69, 81	bitrd 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
83	82	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
84		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
85	2	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86		simplrl 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝑊)
87		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ)
89	45	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
90	89	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ)
91	46	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0)
92	88, 90, 91	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛)
93	92	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷))
94	4	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp)
95	13	eldifbd 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
96	22	lsmsubg2 18085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
97	1, 21, 2, 96	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
98	24, 57	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
99	68	subgsubcl 17428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
100	99	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
101	100	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
102	97, 98, 101	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
103	12	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
104	11, 14	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
105	5	subgss 17418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
106	21, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
107	106, 57	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)
108	5, 59, 68	grppncan 17329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
109	4, 104, 107, 108	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
110	103, 109	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
111	110	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐷(-g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
112	102, 111	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
113	95, 112	mtod 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
114	113	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
115	41	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
116		coprm 15261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117	115, 87, 116	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
118	43	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ)
119		bezout 15098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
120	118, 87, 119	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
121		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
122	121	2rexbidv 3039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
123	120, 122	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
124	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
125	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
127	125, 126	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ)
128	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
129		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
130	128, 129	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ)
131	63	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
133	5, 35, 59	mulgdir 17396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
134	124, 127, 130, 132, 133	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
135	97	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
138		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
139	138	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
140	137, 139	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃))
141	140	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷))
142	5, 35	mulgass 17402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
143	124, 126, 125, 132, 142	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
144	141, 143	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
145	22	lsmub2 17895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
146	21, 2, 145	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
147	12	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
148	5, 35, 59	mulgdi 18055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
149	1, 43, 104, 107, 148	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+g‘𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
150	147, 149	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
151	5, 35	mulgass 17402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
152	4, 43, 49, 17, 151	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
153	36	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
154	153, 89, 46	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155	154	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
156	152, 155	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴))
157	156	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
158	150, 157	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
159	158, 37	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
160	146, 159	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
161	160	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
163	35	subgmulgcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
164	136, 126, 162, 163	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
165	144, 164	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
166	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
167		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
168	167	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
169	166, 168	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛))
170	169	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷))
171	5, 35	mulgass 17402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
172	124, 129, 128, 132, 171	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
173	170, 172	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
174	84	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
175	1	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel)
176	5	subgss 17418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
177	85, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ 𝐵)
178	177, 86	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ 𝐵)
179	5, 35	mulgcl 17382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
180	94, 87, 131, 179	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
181	5, 68, 175, 178, 180	ablnncan 18049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷))
182	174, 181	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷))
183	146	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑊))
184	183, 86	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
185	24	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
186	185	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
187	68	subgsubcl 17428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
188	135, 184, 186, 187	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
189	182, 188	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
191	35	subgmulgcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
192	136, 129, 190, 191	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
193	173, 192	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
194	59	subgcl 17427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑆 ⊕ 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
195	136, 165, 193, 194	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g‘𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
196	134, 195	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊))
197		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷))
198	197	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
199	196, 198	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
200	199	rexlimdvva 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
201	123, 200	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
202	5, 35	mulg1 17371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷)
203	131, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
204	203	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
205	201, 204	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
206	117, 205	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑛 → 𝐷 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
207	114, 206	mt3d 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∥ 𝑛)
208		dvdsval2 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
209	118, 91, 87, 208	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
210	207, 209	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)
211	5, 35	mulgass 17402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
212	94, 210, 118, 131, 211	syl13anc 1320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
213	93, 212	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
214	159	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
215	35	subgmulgcl 17430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
216	85, 210, 214, 215	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
217	213, 216	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊)
218	68	subgsubcl 17428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ 𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
219	85, 86, 217, 218	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
220	84, 219	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ 𝑊)
221	220	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
222	221	rexlimdvva 3020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g‘𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥 ∈ 𝑊))
223	83, 222	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥 ∈ 𝑊))
224	223	imdistanda 725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊)))
225		elin 3758	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
226		elin 3758	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊))
227	224, 225, 226	3imtr4g 284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∩ 𝑊)))
228	227	ssrdv 3574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆 ∩ 𝑊))
229	228, 33	sseqtrd 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 })
230	29	subg0cl 17425	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
231	21, 230	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
232	29	subg0cl 17425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
233	67, 232	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})))
234	231, 233	elind 3760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
235	234	snssd 4281	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
236	229, 235	eqssd 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })
237	22	lsmass 17906	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
238	21, 2, 65, 237	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
239	62, 113	eldifd 3551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊)))
240	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34	pgpfac1lem1 18296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 ⊕ 𝑊))) → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
241	239, 240	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑊) ⊕ (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
242	238, 241	eqtr3d 2646	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)
243		ineq2 3770	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ∩ 𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
244	243	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }))
245		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 ⊕ 𝑡) = (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))))
246	245	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))
247	244, 246	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑡 = (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)))
248	247	rspcev 3282	. 2 ⊢ (((𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ (𝑊 ⊕ (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))
249	67, 236, 242, 248	syl12anc 1316	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆 ∩ 𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 ⊕ 𝑡) = 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  ACScacs 16068  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247  ._gcmg 17363  SubGrpcsubg 17411  odcod 17767  gExcgex 17768   pGrp cpgp 17769  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-od 17771  df-gex 17772  df-pgp 17773  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18300