Proof of Theorem bposlem3
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | bpos.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1)) |
2 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ) |
3 | | 5nn 11065 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 5 ∈
ℕ |
4 | | bpos.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘5)) |
5 | | eluznn 11634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((5
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
6 | 3, 4, 5 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
7 | 6 | nnnn0d 11228 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
8 | | fzctr 12320 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈ (0...(2
· 𝑁))) |
9 | | bccl2 12972 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
10 | 7, 8, 9 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
12 | 2, 11 | pccld 15393 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
13 | 12 | ralrimiva 2949 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
14 | 13 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
15 | | bpos.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 ·
𝑁) / 3)) |
16 | | 2nn 11062 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℕ |
17 | | nnmulcl 10920 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
18 | 16, 6, 17 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ) |
19 | 18 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
20 | | 3nn 11063 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℕ |
21 | | nndivre 10933 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ) |
22 | 19, 20, 21 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈
ℝ) |
23 | 22 | flcld 12461 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((2
· 𝑁) / 3)) ∈
ℤ) |
24 | 15, 23 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ) |
25 | | 3re 10971 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 3 ∈
ℝ |
26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
27 | | 5re 10976 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 5 ∈
ℝ |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 5 ∈
ℝ) |
29 | 6 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
30 | | 3lt5 11078 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 3 <
5 |
31 | 25, 27, 30 | ltleii 10039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 3 ≤
5 |
32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 5) |
33 | | eluzle 11576 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁) |
34 | 4, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁) |
35 | 26, 28, 29, 32, 34 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁) |
36 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ |
37 | | 2pos 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 <
2 |
38 | 36, 37 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2) |
39 | | lemul2 10755 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑁
∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2
· 𝑁))) |
40 | 25, 38, 39 | mp3an13 1407 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤
𝑁 ↔ (2 · 3)
≤ (2 · 𝑁))) |
41 | 29, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 ·
𝑁))) |
42 | 35, 41 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2
· 𝑁)) |
43 | | 3pos 10991 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 <
3 |
44 | 25, 43 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 0 < 3) |
45 | | lemuldiv 10782 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ
∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))) |
46 | 36, 44, 45 | mp3an13 1407 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
· 𝑁) ∈ ℝ
→ ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))) |
47 | 19, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2
· 𝑁) ↔ 2 ≤
((2 · 𝑁) /
3))) |
48 | 42, 47 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) |
49 | | 2z 11286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℤ |
50 | | flge 12468 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((2
· 𝑁) / 3) ∈
ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2
· 𝑁) /
3)))) |
51 | 22, 49, 50 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤
(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))) |
52 | 48, 51 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2
· 𝑁) /
3))) |
53 | 52, 15 | syl6breqr 4625 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐾) |
54 | 49 | eluz1i 11571 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾)) |
55 | 24, 53, 54 | sylanbrc 695 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈
(ℤ≥‘2)) |
56 | | eluz2nn 11602 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ) |
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ) |
58 | 57 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ) |
59 | | simpr 476 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ) |
60 | | oveq1 6556 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
61 | 1, 14, 58, 59, 60 | pcmpt 15434 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0)) |
62 | | iftrue 4042 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
63 | 62 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
64 | | iffalse 4045 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0) |
65 | 64 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0) |
66 | 24 | zred 11358 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ) |
67 | | prmz 15227 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℤ) |
68 | 67 | zred 11358 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) |
69 | | ltnle 9996 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾)) |
70 | 66, 68, 69 | syl2an 493 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾)) |
71 | 70 | biimpar 501 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 𝑝) |
72 | 6 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
73 | | simplr 788 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ) |
74 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ) |
75 | 66 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
76 | 67 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ) |
77 | 76 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ) |
78 | 53 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ≤ 𝐾) |
79 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 < 𝑝) |
80 | 74, 75, 77, 78, 79 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 < 𝑝) |
81 | 15, 79 | syl5eqbrr 4619 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝) |
82 | 22 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ) |
83 | | fllt 12469 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((2
· 𝑁) / 3) ∈
ℝ ∧ 𝑝 ∈
ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)) |
84 | 82, 76, 83 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)) |
85 | 81, 84 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝) |
86 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁) |
87 | 72, 73, 80, 85, 86 | bposlem2 24810 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
88 | 87 | expr 641 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
89 | | rspe 2986 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
90 | 89 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
91 | | bpos.2 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
92 | 91 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
93 | 90, 92 | pm2.21dd 185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
94 | 93 | expr 641 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
95 | 10 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ) |
96 | | faccl 12932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℕ) |
97 | 7, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ) |
98 | 97, 97 | nnmulcld 10945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℕ) |
99 | 98 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℤ) |
100 | | dvdsmul1 14841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)) ∈
ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
101 | 95, 99, 100 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
102 | | bcctr 24800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
103 | 7, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
104 | 103 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
105 | 18 | nnnn0d 11228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
106 | | faccl 12932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ) |
107 | 105, 106 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℕ) |
108 | 107 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℂ) |
109 | 98 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℂ) |
110 | 98 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0) |
111 | 108, 109,
110 | divcan1d 10681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((!‘(2 ·
𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁))) |
112 | 104, 111 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁))) |
113 | 101, 112 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) |
114 | 113 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) |
115 | 67 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ) |
116 | 95 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ) |
117 | 107 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℤ) |
118 | 117 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 ·
𝑁)) ∈
ℤ) |
119 | | dvdstr 14856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧
(!‘(2 · 𝑁))
∈ ℤ) → ((𝑝
∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
120 | 115, 116,
118, 119 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
121 | 114, 120 | mpan2d 706 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
122 | | prmfac1 15269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑝
∈ ℙ ∧ 𝑝
∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) |
123 | 122 | 3expia 1259 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑝
∈ ℙ) → (𝑝
∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
124 | 105, 123 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
125 | 121, 124 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
126 | 125 | con3d 147 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
127 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℙ) |
128 | | pceq0 15413 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
129 | 127, 10, 128 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
130 | 126, 129 | sylibrd 248 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
131 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
132 | 94, 131 | pm2.61d 169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
133 | 132 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
134 | 133 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
135 | | lelttric 10023 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
136 | 68, 29, 135 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
137 | 136 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
138 | 88, 134, 137 | mpjaod 395 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
139 | 71, 138 | syldan 486 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
140 | 65, 139 | eqtr4d 2647 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
141 | 63, 140 | pm2.61dan 828 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
142 | 61, 141 | eqtrd 2644 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
143 | 142 | ralrimiva 2949 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
144 | 1, 13 | pcmptcl 15433 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( ·
, 𝐹):ℕ⟶ℕ)) |
145 | 144 | simprd 478 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ) |
146 | 145, 57 | ffvelrnd 6268 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ) |
147 | 146 | nnnn0d 11228 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈
ℕ0) |
148 | 10 | nnnn0d 11228 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
149 | | pc11 15422 |
. . 3
⊢ (((seq1(
· , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0
∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
→ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) |
150 | 147, 148,
149 | syl2anc 691 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) |
151 | 143, 150 | mpbird 246 |
1
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁)) |