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Theorem bposlem3 21023
Description: Lemma for bpos 21030. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range  ( 2 N  / 
3 ,  N ] or  ( 2 N ,  +oo ) by bposlem2 21022 and prmfac1 13073, respectively, and it does not have any in the range  ( N , 
2 N ] by hypothesis, the product of the primes up through  2 N  / 
3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
3 5nn 10092 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
132, 12pccld 13179 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
16 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
17 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 7, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
21 3nn 10090 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
22 nndivre 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2423flcld 11162 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
2516, 24syl5eqel 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
26 3re 10027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
28 5re 10031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
307nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 3lt5 10105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  <  5
3226, 28, 31ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_  5
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  5 )
34 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
354, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
3627, 29, 30, 33, 35letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  N )
37 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
38 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
40 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 3  <_  N 
<->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4126, 39, 40mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4336, 42mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
44 3pos 10040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  3
4526, 44pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
46 lemuldiv 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4737, 45, 46mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4820, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  3 )  <_  (
2  x.  N )  <->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) ) )
4943, 48mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
50 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
51 flge 11169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5223, 50, 51sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5349, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
5453, 16syl6breqr 4212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  K )
5550eluz1i 10451 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  2  <_  K ) )
5625, 54, 55sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 10504 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
5857simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
5956, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  NN )
61 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
62 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
631, 15, 60, 61, 62pcmpt 13216 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
64 iftrue 3705 . . . . . 6  |-  ( p  <_  K  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
6564adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
66 iffalse 3706 . . . . . . 7  |-  ( -.  p  <_  K  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6766adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6825zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
69 prmz 13038 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
7069zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
71 ltnle 9111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K )
)
7268, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K ) )
7372biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  K  <  p )
747ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  N  e.  NN )
75 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  Prime )
7637a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  e.  RR )
7768ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  e.  RR )
7869ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  ZZ )
7978zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  RR )
8054ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <_  K )
81 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  <  p )
8276, 77, 79, 80, 81lelttrd 9184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <  p )
8316, 81syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <  p )
8423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
85 fllt 11170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8684, 78, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8783, 86mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  p )
88 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  <_  N )
8974, 75, 82, 87, 88bposlem2 21022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9089expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  ->  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
91 rspe 2727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9291adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
93 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9493ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  -.  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9592, 94pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9695expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
9711nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ )
98 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
998, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
10099, 99nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
101100nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )
102 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  ||  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
10397, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( (
( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
104 bcctr 21012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
1058, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
106105oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( ( ! `  (
2  x.  N ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
10719nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  e.  NN )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
110109nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
111100nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  CC )
112100nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  =/=  0 )
113110, 111, 112divcan1d 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  / 
( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
) )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
114106, 113eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
115103, 114breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )
11769adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
11897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
119109nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  ZZ )
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
121 dvdstr 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
122117, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  ||  ( (
2  x.  N )  _C  N )  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ) )
123116, 122mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
124 prmfac1 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N
) )
1251243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
126107, 125sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
127123, 126syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
128127con3d 127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
129 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
130 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
131129, 11, 130syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
132128, 131sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
13496, 133pm2.61d 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
135134ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( N  <  p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 ) )
136135adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  ( N  <  p  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
137 lelttric 9136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( p  <_  N  \/  N  <  p ) )
13870, 30, 137syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  <_  N  \/  N  < 
p ) )
139138adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  \/  N  <  p ) )
14090, 136, 139mpjaod 371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
14173, 140syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
14267, 141eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14365, 142pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14463, 143eqtrd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
145144ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
1461, 14pcmptcl 13215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
147146simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
148147, 59ffvelrnd 5830 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
149148nnnn0d 10230 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0 )
15011nnnn0d 10230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
151 pc11 13208 . . 3  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
152149, 150, 151syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )  =  ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
153145, 152mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   5c5 10008   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521    _C cbc 11548    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165
This theorem is referenced by:  bposlem6  21026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
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