MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcmptcl 15433
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pcmptcl (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 pm2.27 41 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
43adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = (𝑛𝐴))
5 prmnn 15226 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
75, 6sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐴) ∈ ℕ)
84, 7eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
98ex 449 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
102, 9syld 46 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
11 iffalse 4045 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = 1)
12 1nn 10908 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
1311, 12syl6eqel 2696 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1413a1d 25 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1510, 14pm2.61i 175 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
1615a1d 25 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ))
1716ralimi2 2933 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
181, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ)
19 pcmpt.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
2019fmpt 6289 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
2118, 20sylib 207 . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
22 nnuz 11599 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
23 1zzd 11285 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2421ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ)
25 nnmulcl 10920 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
2722, 23, 24, 26seqf 12684 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
2821, 27jca 553 1 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  ifcif 4036  cmpt 4643  wf 5800  (class class class)co 6549  1c1 9816   · cmul 9820  cn 10897  0cn0 11169  seqcseq 12663  cexp 12722  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  pcmpt  15434  pcmpt2  15435  pcmptdvds  15436  pcprod  15437  1arithlem4  15468  bposlem3  24811  bposlem5  24813  bposlem6  24814
  Copyright terms: Public domain W3C validator