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Theorem rlimuni 14129
 Description: A real function whose domain is unbounded above converges to at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimuni.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimuni.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimuni.3 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
rlimuni.4 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimuni (𝜑𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem rlimuni
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimuni.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐵)
2 rlimcl 14082 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐵𝐵 ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
43ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 rlimuni.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝑟 𝐶)
6 rlimcl 14082 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
94, 8subcld 10271 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
109abscld 14023 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1110ltnrd 10050 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))
12 rlimuni.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1312ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514, 4abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))))
1615breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ↔ (abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
1716anbi1d 737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ↔ ((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
18 abs3lem 13926 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
194, 8, 14, 10, 18syl22anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘(𝐵 − (𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2017, 19sylbid 229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2120imim2d 55 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → (𝑗𝑘 → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))))
2221com23 84 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑗𝑘 → ((𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶)))))
2322impd 446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (abs‘(𝐵𝐶))))
2411, 23mtod 188 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ¬ (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2524nrexdv 2984 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
26 r19.29r 3055 . . . . 5 ((∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑘𝐴 (𝑗𝑘 ∧ (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2725, 26nsyl 134 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ) → ¬ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
2827nrexdv 2984 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
29 rlimuni.2 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
30 fdm 5964 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3112, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
32 rlimss 14081 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑟 𝐵 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
3431, 33eqsstr3d 3603 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
35 ressxr 9962 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3634, 35syl6ss 3580 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
37 supxrunb1 12021 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
3929, 38mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘)
40 r19.29 3054 . . . . 5 ((∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
4140ex 449 . . . 4 (∀𝑗 ∈ ℝ ∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4239, 41syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → ∃𝑗 ∈ ℝ (∃𝑘𝐴 𝑗𝑘 ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))))
4328, 42mtod 188 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
4412adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
45 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4645ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4744, 46syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ∀𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
483adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ ℂ)
497adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
5048, 49subcld 10271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
51 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5248, 49, 51subne0d 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
5350, 52absrpcld 14035 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ+)
5453rphalfcld 11760 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∈ ℝ+)
5544feqmptd 6159 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
561adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐵)
5755, 56eqbrtrrd 4607 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐵)
5847, 54, 57rlimi 14092 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
595adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐹𝑟 𝐶)
6055, 59eqbrtrrd 4607 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐶)
6147, 54, 60rlimi 14092 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))
6234adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐶) → 𝐴 ⊆ ℝ)
63 rexanre 13934 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐶) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6558, 61, 64mpbir2and 959 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐶) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))))
6665ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶 → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2)))))
6766necon1bd 2800 . 2 (𝜑 → (¬ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐶)) < ((abs‘(𝐵𝐶)) / 2))) → 𝐵 = 𝐶))
6843, 67mpd 15 1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  abscabs 13822   ⇝𝑟 crli 14064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rlim 14068 This theorem is referenced by:  rlimdm  14130  rlimdmafv  39906
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