MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Unicode version

Theorem rphalfcld 11264
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rphalfcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rphalfcl 11240 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6282    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  nnesq  12254  rlimuni  13332  climuni  13334  reccn2  13378  iseralt  13466  mertenslem1  13652  mertenslem2  13653  ege2le3  13683  rpcoshcl  13749  sqr2irrlem  13838  4sqlem7  14317  ssblex  20666  methaus  20758  met2ndci  20760  metustexhalfOLD  20801  metustexhalf  20802  cfilucfilOLD  20807  cfilucfil  20808  nlmvscnlem2  20929  nlmvscnlem1  20930  nrginvrcnlem  20934  reperflem  21058  icccmplem2  21063  metdcnlem  21076  metnrmlem2  21099  metnrmlem3  21100  ipcnlem2  21419  ipcnlem1  21420  minveclem3  21579  ovollb2lem  21634  ovolunlem2  21644  uniioombl  21733  itg2cnlem2  21904  itg2cn  21905  lhop1lem  22149  lhop1  22150  aaliou2b  22471  ulmcn  22528  pserdvlem1  22556  pserdv  22558  cxpcn3lem  22849  ftalem2  23075  bposlem7  23293  bposlem9  23295  lgsquadlem2  23358  chebbnd1lem2  23383  pntibndlem3  23505  pntibnd  23506  pntlemr  23515  lt2addrd  27231  tpr2rico  27530  lgamgulmlem3  28213  lgamucov  28220  tan2h  29624  mblfinlem4  29631  sstotbnd2  29873  dstregt0  31040  lptre2pt  31182  0ellimcdiv  31191  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  stoweidlem62  31362  stirlinglem1  31374
  Copyright terms: Public domain W3C validator