Theorem reccn2 14175

Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
reccn2.t	⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))

Assertion

Ref	Expression
reccn2	⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧

Proof of Theorem reccn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccn2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2		1rp 11712	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
3		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
4		eldifsn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
5	3, 4	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6		absrpcl 13876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
8		rpmulcl 11731	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
9	7, 8	sylancom 698	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
10		ifcl 4080	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
11	2, 9, 10	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	7	rphalfcld 11760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
13	11, 12	rpmulcld 11764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
14	1, 13	syl5eqel 2692	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
15	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
16	15	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprl 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
19	17, 18	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
20	19	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑧 ∈ ℂ)
21	16, 20	mulcld 9939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ∈ ℂ)
22		mulne0 10548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
23	15, 19, 22	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 𝑧) ≠ 0)
24	16, 20, 21, 23	divsubdird 10719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))))
25	16	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
26	25	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)))
27		1cnd 9935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℂ)
28		divcan5 10606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
29	27, 19, 15, 28	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 · 1) / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
30	26, 29	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝑧))
31	20	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
32	20, 16	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑧))
33	31, 32	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)))
34		divcan5 10606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
35	27, 15, 19, 34	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝑧 · 1) / (𝑧 · 𝐴)) = (1 / 𝐴))
36	33, 35	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 / (𝐴 · 𝑧)) = (1 / 𝐴))
37	30, 36	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 / (𝐴 · 𝑧)) − (𝑧 / (𝐴 · 𝑧))) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
38	24, 37	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
39	38	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
40	16, 20	subcld 10271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑧) ∈ ℂ)
41	40, 21, 23	absdivd 14042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((𝐴 − 𝑧) / (𝐴 · 𝑧))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
42	39, 41	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) = ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))))
43	16, 20	abssubd 14040	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
44	20, 16	subcld 10271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
45	44	abscld 14023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) ∈ ℝ)
46	43, 45	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) ∈ ℝ)
47	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
48	47	rpred 11748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
49	21	abscld 14023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ)
50		rpre 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
51	50	ad2antlr 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	49, 51	remulcld 9949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) ∈ ℝ)
53		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)
54	43, 53	eqbrtrd 4605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < 𝑇)
55	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
57	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
58	57	rpred 11748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
59	56, 58	remulcld 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
60		1re 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
61		min2 11895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
62	60, 56, 61	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵))
63	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
65	64, 56, 57	lemul1d 11791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2))))
66	62, 65	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
67	1, 66	syl5eqbr 4618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)))
68	20	abscld 14023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
69	16	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
70	69	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
71	70	2halvesd 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) = (abs‘𝐴))
72	69, 68	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ∈ ℝ)
73	16, 20	abs2difd 14044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑧)))
74		min1 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
75	60, 56, 74	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
76		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
77	64, 76, 57	lemul1d 11791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2))))
78	75, 77	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝐵), 1, ((abs‘𝐴) · 𝐵)) · ((abs‘𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
79	1, 78	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((abs‘𝐴) / 2)))
80	58	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) ∈ ℂ)
81	80	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (1 · ((abs‘𝐴) / 2)) = ((abs‘𝐴) / 2))
82	79, 81	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((abs‘𝐴) / 2))
83	46, 48, 58, 54, 82	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
84	72, 46, 58, 73, 83	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2))
85	69, 68, 58	ltsubadd2d 10504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) − (abs‘𝑧)) < ((abs‘𝐴) / 2) ↔ (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
86	84, 85	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝐴) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
87	71, 86	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2)))
88	58, 68, 58	ltadd1d 10499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧) ↔ (((abs‘𝐴) / 2) + ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘𝑧) + ((abs‘𝐴) / 2))))
89	87, 88	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘𝐴) / 2) < (abs‘𝑧))
90	58, 68, 55, 89	ltmul2dd 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
91	16, 20	absmuld 14041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)))
92	91	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵))
93	68	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘𝑧) ∈ ℂ)
94	51	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
95	70, 93, 94	mul32d 10125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
96	92, 95	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵) = (((abs‘𝐴) · 𝐵) · (abs‘𝑧)))
97	90, 96	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘𝐴) · 𝐵) · ((abs‘𝐴) / 2)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
98	48, 59, 52, 67, 97	lelttrd 10074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → 𝑇 < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
99	46, 48, 52, 54, 98	lttrd 10077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵))
100	21, 23	absrpcld 14035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 · 𝑧)) ∈ ℝ+)
101	46, 51, 100	ltdivmuld 11799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑧)) < ((abs‘(𝐴 · 𝑧)) · 𝐵)))
102	99, 101	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑧)) / (abs‘(𝐴 · 𝑧))) < 𝐵)
103	42, 102	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇)) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)
104	103	expr 641	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
105	104	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
106		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇))
107	106	imbi1d 330	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵) ↔ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)))
108	107	ralbidv 2969	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵) ↔ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)))
109	108	rspcev 3282	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑇 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))
110	14, 105, 109	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  rlimdiv  14224  divcn  22479  climrec  38670