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Theorem lhop1 22285
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If  F and  G are differentiable real functions on  ( A ,  B ), and 
F and  G both approach 0 at  A, and  G ( x ) and  G'  ( x ) are not zero on  ( A ,  B ), and the limit of  F'  ( x )  /  G'  ( x ) at  A is  C, then the limit  F ( x )  /  G ( x ) at  A also exists and equals  C. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lhop1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lhop1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lhop1.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.ig  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.f0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
lhop1.g0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
lhop1.gn0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
lhop1.gd0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
lhop1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
lhop1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Distinct variable groups:    z, B    ph, z    z, A    z, C    z, F    z, G

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables  e 
d  r  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
32rphalfcld 11274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
4 breq2 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
54imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e )  <->  ( (
y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
65rexralbidv 2960 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
76rspcv 3190 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
9 rabid 3018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } 
<->  ( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
10 eliooord 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1211simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  <  B )
1312biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  (
d  +  A )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
14 ioossre 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A (,) B )  C_  RR
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15sseldi 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR )
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR+ )
2019rpred 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
d  e.  RR )
2216, 18, 21ltsubaddd 10151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  -  A )  <  d  <->  v  <  ( d  +  A ) ) )
2316rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR* )
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
2617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2720, 26readdcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
2827rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( d  +  A
)  e.  RR* )
30 xrltmin 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  (
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( v  <  B  /\  v  < 
( d  +  A
) ) ) )
3123, 25, 29, 30syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
3213, 22, 313bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  -  A
)  <  d )
)
3318rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
3425, 29ifcld 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3511simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  v )
36 elioo5 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( A  <  v  /\  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
3736baibd 907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  /\  A  <  v )  ->  ( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <->  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3833, 34, 23, 35, 37syl31anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3918, 16, 35ltled 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  v )
4018, 16, 39abssubge0d 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  (
v  -  A ) )  =  ( v  -  A ) )
4140breq1d 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( v  -  A )  <  d
) )
4232, 38, 413bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
4342rabbi2dva 3689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } )
4424ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
45 xrmin1 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
4644, 28, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
47 iooss2 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )  -> 
( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B ) )
49 dfss1 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B )  <->  ( ( A (,) B )  i^i  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5143, 50eqtr3d 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5251eleq2d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  <->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
539, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  <-> 
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
54 lbioo 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
55 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
5654, 55mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  ( A (,) B ) )
5756necon2ai 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  =/=  A )
5857biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  <->  ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) ) )
5958bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  <-> 
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d ) )
60 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
61 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  G
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) )
6260, 61oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )
64 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e. 
_V
6562, 63, 64fvmpt3i 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) ) )
6665oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
)  =  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 y ) )  -  C ) )
6766fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) ) )
6867breq1d 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
6959, 68imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
( x  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
7069ralbiia 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
71 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  (
v  -  A )  =  ( y  -  A ) )
7271fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  (
y  -  A ) ) )
7372breq1d 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) )
7473ralrab 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7570, 74bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  {
v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
7651adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
7776raleqdv 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
7924ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
80 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <  B )
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  B )
82 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
84 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  G :
( A (,) B
) --> RR )
86 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
88 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )
90 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( F lim CC  A ) )
92 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( G lim CC  A ) )
94 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
96 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
981ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  A ) )
993adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
10078rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
101 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
102101rpred 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR )
103102, 78readdcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR )
104 iocssre 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR )  -> 
( A (,] (
d  +  A ) )  C_  RR )
105100, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A (,] ( d  +  A
) )  C_  RR )
10679adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  B  <_ 
( d  +  A
) )  ->  B  e.  RR* )
107102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  d  e.  RR )
10878adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  A  e.  RR )
109107, 108readdcld 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
110109rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
111106, 110ifclda 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e. 
RR* )
11278, 101ltaddrp2d 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  ( d  +  A ) )
113103rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR* )
114 xrltmin 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
115100, 79, 113, 114syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
11681, 112, 115mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )
117 xrmin2 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) )
11879, 113, 117syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_ 
( d  +  A
) )
119 elioc1 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  ( if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A ) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
120100, 113, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A
) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
121111, 116, 118, 120mpbir3and 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] (
d  +  A ) ) )
122105, 121sseldd 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR )
12379, 113, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
124 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
125 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
126 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  +  ( r  / 
2 ) )  =  ( A  +  ( r  /  2 ) )
12778, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126lhop1lem 22284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  (
2  x.  ( x  /  2 ) ) )
1282rpcnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
129 2cnd 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
130 2ne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
132128, 129, 131divcan2d 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
134127, 133breqtrd 4458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  x
)
135134expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13677, 135sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13775, 136syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
138137expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
13953, 138sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
140139expdimp 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
141 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( F `  z )  =  ( F `  v ) )
142 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( G `  z )  =  ( G `  v ) )
143141, 142oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
( F `  z
)  /  ( G `
 z ) )  =  ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) ) )
144 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )
145 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e. 
_V
146143, 144, 145fvmpt3i 5942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) `  v
)  =  ( ( F `  v )  /  ( G `  v ) ) )
147146oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
)  =  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )
148147fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) ) )
149148breq1d 4444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )  <  x ) )
150149imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
152140, 151sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
) ) )
153152adantld 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
154153com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
155154ralrimdva 2859 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
156155reximdva 2916 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
1578, 156syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
158157ralrimdva 2859 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e
)  ->  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
159158anim2d 565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) )  -> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) ) )
160 dvf 22181 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
16186feq2d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
162160, 161mpbii 211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
163162ffvelrnda 6013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  z )  e.  CC )
164 dvf 22181 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
16588feq2d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR  _D  G
) --> CC  <->  ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
166164, 165mpbii 211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : ( A (,) B ) --> CC )
167166ffvelrnda 6013 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  CC )
16896adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
169 ffn 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B ) )
170166, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
171 fnfvelrn 6010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
172170, 171sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
173 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  (
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G )  <->  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) ) )
174172, 173syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) ) )
175174necon3bd 2653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  ( RR 
_D  G )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  =/=  0 ) )
176168, 175mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  =/=  0
)
177163, 167, 176divcld 10323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e.  CC )
178177, 63fmptd 6037 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
179 ax-resscn 9549 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
18014, 179sstri 3496 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  CC
181180a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
18217recnd 9622 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
183178, 181, 182ellimc3 22153 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) ) ) )
18482ffvelrnda 6013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
185184recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
18684ffvelrnda 6013 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
187186recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
18894adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
189 ffn 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( A (,) B ) --> RR  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
19084, 189syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
191 fnfvelrn 6010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ran  G
)
192190, 191sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  ran  G )
193 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  0  ->  (
( G `  z
)  e.  ran  G  <->  0  e.  ran  G ) )
194192, 193syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  G ) )
195194necon3bd 2653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  G  -> 
( G `  z
)  =/=  0 ) )
196188, 195mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  =/=  0
)
197185, 187, 196divcld 10323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e.  CC )
198197, 144fmptd 6037 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
199198, 181, 182ellimc3 22153 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
200159, 183, 1993imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) lim CC  A ) ) )
2011, 200mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   {crab 2795    i^i cin 3458    C_ wss 3459   ifcif 3923   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492   dom cdm 4986   ran crn 4987    Fn wfn 5570   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807    / cdiv 10209   2c2 10588   RR+crp 11226   (,)cioo 11535   (,]cioc 11536   abscabs 13043   lim CC climc 22136    _D cdv 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-iin 4315  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6522  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-supp 6901  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-2o 7130  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-uz 11088  df-q 11189  df-rp 11227  df-xneg 11324  df-xadd 11325  df-xmul 11326  df-ioo 11539  df-ioc 11540  df-ico 11541  df-icc 11542  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-seq 12084  df-exp 12143  df-hash 12382  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15743  df-sgrp 15782  df-mnd 15792  df-submnd 15838  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18282  df-xmet 18283  df-met 18284  df-bl 18285  df-mopn 18286  df-fbas 18287  df-fg 18288  df-cnfld 18292  df-top 19269  df-bases 19271  df-topon 19272  df-topsp 19273  df-cld 19390  df-ntr 19391  df-cls 19392  df-nei 19469  df-lp 19507  df-perf 19508  df-cn 19598  df-cnp 19599  df-haus 19686  df-cmp 19757  df-tx 19933  df-hmeo 20126  df-fil 20217  df-fm 20309  df-flim 20310  df-flf 20311  df-xms 20693  df-ms 20694  df-tms 20695  df-cncf 21252  df-limc 22140  df-dv 22141
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