MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop1 Structured version   Unicode version

Theorem lhop1 22901
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If  F and  G are differentiable real functions on  ( A ,  B ), and 
F and  G both approach 0 at  A, and  G ( x ) and  G'  ( x ) are not zero on  ( A ,  B ), and the limit of  F'  ( x )  /  G'  ( x ) at  A is  C, then the limit  F ( x )  /  G ( x ) at  A also exists and equals  C. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lhop1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lhop1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lhop1.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.ig  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.f0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
lhop1.g0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
lhop1.gn0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
lhop1.gd0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
lhop1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
lhop1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Distinct variable groups:    z, B    ph, z    z, A    z, C    z, F    z, G

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables  e 
d  r  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
2 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
32rphalfcld 11297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
4 breq2 4363 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
54imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e )  <->  ( (
y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
65rexralbidv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
76rspcv 3114 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
83, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
9 rabid 2938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } 
<->  ( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
10 eliooord 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1110adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1211simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  <  B )
1312biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  (
d  +  A )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
14 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A (,) B )  C_  RR
15 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15sseldi 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR )
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR+ )
2019rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR )
2120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
d  e.  RR )
2216, 18, 21ltsubaddd 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  -  A )  <  d  <->  v  <  ( d  +  A ) ) )
2316rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR* )
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2524ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
2617ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2720, 26readdcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
2827rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
2928adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( d  +  A
)  e.  RR* )
30 xrltmin 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  (
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( v  <  B  /\  v  < 
( d  +  A
) ) ) )
3123, 25, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
3213, 22, 313bitr4rd 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  -  A
)  <  d )
)
3318rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
3425, 29ifcld 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3511simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  v )
36 elioo5 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( A  <  v  /\  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
3736baibd 917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  /\  A  <  v )  ->  ( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <->  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3833, 34, 23, 35, 37syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3918, 16, 35ltled 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  v )
4018, 16, 39abssubge0d 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  (
v  -  A ) )  =  ( v  -  A ) )
4140breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( v  -  A )  <  d
) )
4232, 38, 413bitr4d 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
4342rabbi2dva 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } )
4424ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
45 xrmin1 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
4644, 28, 45syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
47 iooss2 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )  -> 
( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
4844, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B ) )
49 dfss1 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B )  <->  ( ( A (,) B )  i^i  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5048, 49sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5143, 50eqtr3d 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5251eleq2d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  <->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
539, 52syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  <-> 
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
54 lbioo 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
55 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
5654, 55mtbiri 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  ( A (,) B ) )
5756necon2ai 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  =/=  A )
5857biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  <->  ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) ) )
5958bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  <-> 
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d ) )
60 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
61 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  G
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) )
6260, 61oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) ) )
63 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )
64 ovex 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e. 
_V
6562, 63, 64fvmpt3i 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) ) )
6665oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
)  =  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 y ) )  -  C ) )
6766fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) ) )
6867breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
6959, 68imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
( x  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
7069ralbiia 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
71 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  (
v  -  A )  =  ( y  -  A ) )
7271fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  (
y  -  A ) ) )
7372breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) )
7473ralrab 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7570, 74bitr4i 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  {
v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
7651adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
7776raleqdv 2964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7817ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
7924ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
80 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <  B )
8180ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  B )
82 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
8382ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
84 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8584ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  G :
( A (,) B
) --> RR )
86 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
8786ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
88 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
8988ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )
90 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
9190ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( F lim CC  A ) )
92 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
9392ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( G lim CC  A ) )
94 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
9594ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
96 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
9796ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
981ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  A ) )
993adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
10078rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
101 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
102101rpred 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR )
103102, 78readdcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR )
104 iocssre 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR )  -> 
( A (,] (
d  +  A ) )  C_  RR )
105100, 103, 104syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A (,] ( d  +  A
) )  C_  RR )
10679adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  B  <_ 
( d  +  A
) )  ->  B  e.  RR* )
107102adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  d  e.  RR )
10878adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  A  e.  RR )
109107, 108readdcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
110109rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
111106, 110ifclda 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e. 
RR* )
11278, 101ltaddrp2d 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  ( d  +  A ) )
113103rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR* )
114 xrltmin 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
115100, 79, 113, 114syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
11681, 112, 115mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )
117 xrmin2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) )
11879, 113, 117syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_ 
( d  +  A
) )
119 elioc1 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  ( if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A ) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
120100, 113, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A
) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
121111, 116, 118, 120mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] (
d  +  A ) ) )
122105, 121sseldd 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR )
12379, 113, 45syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
124 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
125 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
126 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  +  ( r  / 
2 ) )  =  ( A  +  ( r  /  2 ) )
12778, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126lhop1lem 22900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  (
2  x.  ( x  /  2 ) ) )
1282rpcnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
129 2cnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
130 2ne0 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
132128, 129, 131divcan2d 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
133132adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
134127, 133breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  x
)
135134expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13677, 135sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13775, 136syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
138137expr 618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
13953, 138sylbid 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
140139expdimp 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
141 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( F `  z )  =  ( F `  v ) )
142 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( G `  z )  =  ( G `  v ) )
143141, 142oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
( F `  z
)  /  ( G `
 z ) )  =  ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) ) )
144 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )
145 ovex 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e. 
_V
146143, 144, 145fvmpt3i 5906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) `  v
)  =  ( ( F `  v )  /  ( G `  v ) ) )
147146oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
)  =  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )
148147fveq2d 5822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) ) )
149148breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )  <  x ) )
150149imbi2d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
151150adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
152140, 151sylibrd 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
) ) )
153152adantld 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
154153com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
155154ralrimdva 2777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
156155reximdva 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
1578, 156syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
158157ralrimdva 2777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e
)  ->  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
159158anim2d 567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) )  -> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) ) )
160 dvf 22797 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
16186feq2d 5669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
162160, 161mpbii 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
163162ffvelrnda 5974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  z )  e.  CC )
164 dvf 22797 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
16588feq2d 5669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR  _D  G
) --> CC  <->  ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
166164, 165mpbii 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : ( A (,) B ) --> CC )
167166ffvelrnda 5974 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  CC )
16896adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
169 ffn 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B ) )
170166, 169syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
171 fnfvelrn 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
172170, 171sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
173 eleq1 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  (
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G )  <->  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) ) )
174172, 173syl5ibcom 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) ) )
175174necon3bd 2609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  ( RR 
_D  G )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  =/=  0 ) )
176168, 175mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  =/=  0
)
177163, 167, 176divcld 10327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e.  CC )
178177, 63fmptd 5998 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
179 ax-resscn 9540 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
18014, 179sstri 3409 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  CC
181180a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
18217recnd 9613 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
183178, 181, 182ellimc3 22769 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) ) ) )
18482ffvelrnda 5974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
185184recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
18684ffvelrnda 5974 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
187186recnd 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
18894adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
189 ffn 5682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( A (,) B ) --> RR  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
19084, 189syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
191 fnfvelrn 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ran  G
)
192190, 191sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  ran  G )
193 eleq1 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  0  ->  (
( G `  z
)  e.  ran  G  <->  0  e.  ran  G ) )
194192, 193syl5ibcom 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  G ) )
195194necon3bd 2609 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  G  -> 
( G `  z
)  =/=  0 ) )
196188, 195mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  =/=  0
)
197185, 187, 196divcld 10327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e.  CC )
198197, 144fmptd 5998 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
199198, 181, 182ellimc3 22769 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
200159, 183, 1993imtr4d 271 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) lim CC  A ) ) )
2011, 200mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712    i^i cin 3371    C_ wss 3372   ifcif 3847   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   dom cdm 4789   ran crn 4790    Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804    / cdiv 10213   2c2 10603   RR+crp 11246   (,)cioo 11579   (,]cioc 11580   abscabs 13234   lim CC climc 22752    _D cdv 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-cmp 20337  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
This theorem is referenced by:  lhop2  22902  lhop  22903  fourierdlem61  37908
  Copyright terms: Public domain W3C validator