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Theorem lhop1 21612
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If  F and  G are differentiable real functions on  ( A ,  B ), and 
F and  G both approach 0 at  A, and  G ( x ) and  G'  ( x ) are not zero on  ( A ,  B ), and the limit of  F'  ( x )  /  G'  ( x ) at  A is  C, then the limit  F ( x )  /  G ( x ) at  A also exists and equals  C. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lhop1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lhop1.l  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lhop1.f  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.ig  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
lhop1.f0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
lhop1.g0  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
lhop1.gn0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
lhop1.gd0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
lhop1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Assertion
Ref Expression
lhop1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Distinct variable groups:    z, B    ph, z    z, A    z, C    z, F    z, G

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables  e 
d  r  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
2 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
32rphalfcld 11143 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
4 breq2 4397 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
54imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e )  <->  ( (
y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
65rexralbidv 2873 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( x  / 
2 )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
76rspcv 3168 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) ) ) )
9 rabid 2996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } 
<->  ( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
10 eliooord 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A  <  v  /\  v  <  B ) )
1211simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  <  B )
1312biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  (
d  +  A )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
14 ioossre 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A (,) B )  C_  RR
15 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15sseldi 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR )
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR+ )
2019rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  d  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
d  e.  RR )
2216, 18, 21ltsubaddd 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  -  A )  <  d  <->  v  <  ( d  +  A ) ) )
2316rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
v  e.  RR* )
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
2617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2720, 26readdcld 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
2827rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( d  +  A
)  e.  RR* )
30 xrltmin 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  (
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( v  <  B  /\  v  < 
( d  +  A
) ) ) )
3123, 25, 29, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  <  B  /\  v  <  ( d  +  A ) ) ) )
3213, 22, 313bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <-> 
( v  -  A
)  <  d )
)
3318rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
34 ifcl 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3525, 29, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR* )
3611simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  v )
37 elioo5 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( A  <  v  /\  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
3837baibd 900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  /\  A  <  v )  ->  ( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <->  v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
3933, 35, 23, 36, 38syl31anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
v  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
4018, 16, 36ltled 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  v )
4118, 16, 40abssubge0d 13029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( abs `  (
v  -  A ) )  =  ( v  -  A ) )
4241breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( v  -  A )  <  d
) )
4332, 39, 423bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  <-> 
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d ) )
4443rabbi2dva 3659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d } )
4524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
46 xrmin1 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
4745, 28, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
48 iooss2 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )  -> 
( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  C_  ( A (,) B ) )
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B ) )
50 dfss1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) 
C_  ( A (,) B )  <->  ( ( A (,) B )  i^i  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( A (,) B
)  i^i  ( A (,) if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) ) ) )  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5244, 51eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
5352eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  ( v  -  A ) )  <  d }  <->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
549, 53syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  <-> 
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )
55 lbioo 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
56 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
5755, 56mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  ( A (,) B ) )
5857necon2ai 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  =/=  A )
5958biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  <->  ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) ) )
6059bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  <-> 
( abs `  (
y  -  A ) )  <  d ) )
61 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  F
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  F ) `  y ) )
62 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( RR  _D  G
) `  z )  =  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) )
6361, 62oveq12d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) )  =  ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) ) )
64 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) )
65 ovex 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e. 
_V
6663, 64, 65fvmpt3i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) `  y
)  =  ( ( ( RR  _D  F
) `  y )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  y ) ) )
6766oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
)  =  ( ( ( ( RR  _D  F ) `  y
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 y ) )  -  C ) )
6867fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) ) )
6968breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 )  <-> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7060, 69imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
( x  /  2
) )  <->  ( ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d  ->  ( abs `  ( ( ( ( RR  _D  F ) `
 y )  / 
( ( RR  _D  G ) `  y
) )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) ) ) )
7170ralbiia 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
72 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  y  ->  (
v  -  A )  =  ( y  -  A ) )
7372fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  (
y  -  A ) ) )
7473breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
) )
7574ralrab 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  { v  e.  ( A (,) B
)  |  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7671, 75bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  <->  A. y  e.  {
v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
7752adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  ->  { v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  =  ( A (,) if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
7877raleqdv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  <->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )
7917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
8024ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  B  e.  RR* )
81 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  <  B )
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  B )
83 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> RR )
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  F :
( A (,) B
) --> RR )
85 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  G : ( A (,) B ) --> RR )
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  G :
( A (,) B
) --> RR )
87 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  F )  =  ( A (,) B ) )
8887ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  F )  =  ( A (,) B
) )
89 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
9089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) )
91 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( F lim
CC  A ) )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( F lim CC  A ) )
93 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  e.  ( G lim
CC  A ) )
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  0  e.  ( G lim CC  A ) )
95 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  G )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
97 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
9897ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
991ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) lim CC  A ) )
1003adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
10179rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR* )
102 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
103102rpred 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  d  e.  RR )
104103, 79readdcld 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR )
105 iocssre 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR )  -> 
( A (,] (
d  +  A ) )  C_  RR )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A (,] ( d  +  A
) )  C_  RR )
10780adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  B  <_ 
( d  +  A
) )  ->  B  e.  RR* )
108103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  d  e.  RR )
10979adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  A  e.  RR )
110108, 109readdcld 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR )
111110rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( ( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  /\  -.  B  <_  ( d  +  A
) )  ->  (
d  +  A )  e.  RR* )
112107, 111ifclda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e. 
RR* )
11379, 102ltaddrp2d 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  ( d  +  A ) )
114104rexrd 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( d  +  A )  e.  RR* )
115 xrltmin 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( d  +  A )  e. 
RR* )  ->  ( A  <  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
116101, 80, 114, 115syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( A  <  if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  <->  ( A  <  B  /\  A  < 
( d  +  A
) ) ) )
11782, 113, 116mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A  <  if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )
118 xrmin2 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) )
11980, 114, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_ 
( d  +  A
) )
120 elioc1 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  (
d  +  A )  e.  RR* )  ->  ( if ( B  <_  (
d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A ) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
121101, 114, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] ( d  +  A
) )  <->  ( if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR*  /\  A  < 
if ( B  <_ 
( d  +  A
) ,  B , 
( d  +  A
) )  /\  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  ( d  +  A ) ) ) )
122112, 117, 119, 121mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  ( A (,] (
d  +  A ) ) )
123106, 122sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  e.  RR )
12480, 114, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) )  <_  B )
125 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )
126 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) )
127 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  +  ( r  / 
2 ) )  =  ( A  +  ( r  /  2 ) )
12879, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 99, 100, 123, 124, 125, 126, 127lhop1lem 21611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  (
2  x.  ( x  /  2 ) ) )
1292rpcnd 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
130 2cnd 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
131 2ne0 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  =/=  0 )
133129, 130, 132divcan2d 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
134133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( x  / 
2 ) )  =  x )
135128, 134breqtrd 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) )  /\  A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) )  -  C
) )  <  x
)
136135expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13778, 136sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ v  e.  ( A (,) B )  |  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d }  ( abs `  (
( ( ( RR 
_D  F ) `  y )  /  (
( RR  _D  G
) `  y )
)  -  C ) )  <  ( x  /  2 )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
13876, 137syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  RR+  /\  v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) ) ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) )
139138expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
v  e.  ( A (,) if ( B  <_  ( d  +  A ) ,  B ,  ( d  +  A ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
14054, 139sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
( v  e.  ( A (,) B )  /\  ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
141140expdimp 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
142 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( F `  z )  =  ( F `  v ) )
143 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  v  ->  ( G `  z )  =  ( G `  v ) )
144142, 143oveq12d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
( F `  z
)  /  ( G `
 z ) )  =  ( ( F `
 v )  / 
( G `  v
) ) )
145 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) )
146 ovex 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e. 
_V
147144, 145, 146fvmpt3i 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) `  v
)  =  ( ( F `  v )  /  ( G `  v ) ) )
148147oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
)  =  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )
149148fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) ) )
150149breq1d 4403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `  v
)  /  ( G `
 v ) )  -  C ) )  <  x ) )
151150imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( A (,) B )  ->  (
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
152151adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
)  <->  ( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  v )  /  ( G `  v )
)  -  C ) )  <  x ) ) )
153141, 152sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  d  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) `  v )  -  C
) )  <  x
) ) )
154153adantld 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
155154com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
156155ralrimdva 2905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  (
x  /  2 ) )  ->  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
157156reximdva 2927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  ( x  / 
2 ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
1588, 157syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B
) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  ( y  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `  z
)  /  ( ( RR  _D  G ) `
 z ) ) ) `  y )  -  C ) )  <  e )  ->  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) )
159158ralrimdva 2905 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/=  A  /\  ( abs `  (
y  -  A ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( ( RR  _D  F ) `
 z )  / 
( ( RR  _D  G ) `  z
) ) ) `  y )  -  C
) )  <  e
)  ->  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) )
160159anim2d 565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) )  -> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B
) ( ( v  =/=  A  /\  ( abs `  ( v  -  A ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) `  v )  -  C ) )  <  x ) ) ) )
161 dvf 21508 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  F ) : dom  ( RR  _D  F ) --> CC
16287feq2d 5648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  F ) : dom  ( RR  _D  F
) --> CC  <->  ( RR  _D  F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
163161, 162mpbii 211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  F
) : ( A (,) B ) --> CC )
164163ffvelrnda 5945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  F ) `  z )  e.  CC )
165 dvf 21508 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
16689feq2d 5648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR  _D  G
) --> CC  <->  ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
167165, 166mpbii 211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : ( A (,) B ) --> CC )
168167ffvelrnda 5945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  CC )
16997adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
170 ffn 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( RR  _D  G ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B ) )
171167, 170syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
172 fnfvelrn 5942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G ) )
173171, 172sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  e.  ran  ( RR  _D  G
) )
174 eleq1 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  (
( ( RR  _D  G ) `  z
)  e.  ran  ( RR  _D  G )  <->  0  e.  ran  ( RR  _D  G
) ) )
175173, 174syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  G
) `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  ( RR  _D  G ) ) )
176175necon3bd 2660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  ( RR 
_D  G )  -> 
( ( RR  _D  G ) `  z
)  =/=  0 ) )
177169, 176mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  z )  =/=  0
)
178164, 168, 177divcld 10211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) )  e.  CC )
179178, 64fmptd 5969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
180 ax-resscn 9443 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
18114, 180sstri 3466 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  CC
182181a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
18317recnd 9516 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
184179, 182, 183ellimc3 21480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A (,) B ) ( ( y  =/= 
A  /\  ( abs `  ( y  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( RR  _D  F
) `  z )  /  ( ( RR 
_D  G ) `  z ) ) ) `
 y )  -  C ) )  < 
e ) ) ) )
18583ffvelrnda 5945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
186185recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
18785ffvelrnda 5945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
188187recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
18995adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  0  e.  ran  G )
190 ffn 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ( A (,) B ) --> RR  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
19185, 190syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( A (,) B ) )
192 fnfvelrn 5942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ( A (,) B )  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( G `  z
)  e.  ran  G
)
193191, 192sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  e.  ran  G )
194 eleq1 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  =  0  ->  (
( G `  z
)  e.  ran  G  <->  0  e.  ran  G ) )
195193, 194syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( G `  z )  =  0  ->  0  e.  ran  G ) )
196195necon3bd 2660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( -.  0  e.  ran  G  -> 
( G `  z
)  =/=  0 ) )
197189, 196mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  z )  =/=  0
)
198186, 188, 197divcld 10211 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) )  e.  CC )
199198, 145fmptd 5969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
200199, 182, 183ellimc3 21480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z )
) ) lim CC  A
)  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. v  e.  ( A (,) B ) ( ( v  =/= 
A  /\  ( abs `  ( v  -  A
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z )  /  ( G `  z ) ) ) `
 v )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
201160, 184, 2003imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( RR 
_D  F ) `  z )  /  (
( RR  _D  G
) `  z )
) ) lim CC  A
)  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 z )  / 
( G `  z
) ) ) lim CC  A ) ) )
2021, 201mpd 15 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  z
)  /  ( G `
 z ) ) ) lim CC  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    i^i cin 3428    C_ wss 3429   ifcif 3892   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941   ran crn 4942    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386    + caddc 9389    x. cmul 9391   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   2c2 10475   RR+crp 11095   (,)cioo 11404   (,]cioc 11405   abscabs 12834   lim CC climc 21463    _D cdv 21464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468
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