Theorem lhop1 19851

Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If F and G are differentiable real functions on ( A , B ), and F and G both approach 0 at A, and G ( x ) and G' ( x ) are not zero on ( A , B ), and the limit of F' ( x ) / G' ( x ) at A is C, then the limit F ( x ) / G ( x ) at A also exists and equals C. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhop1.a	|- ( ph -> A e. RR )
lhop1.b	|- ( ph -> B e. RR* )
lhop1.l	|- ( ph -> A < B )
lhop1.f	|- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.g	|- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
lhop1.if	|- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
lhop1.ig	|- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
lhop1.f0	|- ( ph -> 0 e. ( F lim CC A ) )
lhop1.g0	|- ( ph -> 0 e. ( G lim CC A ) )
lhop1.gn0	|- ( ph -> -. 0 e. ran G )
lhop1.gd0	|- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
lhop1.c	|- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) )

Assertion

Ref	Expression
lhop1	|- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC A ) )

Distinct variable groups:   z, B   ph, z   z, A   z, C   z, F   z, G

Proof of Theorem lhop1

Dummy variables e d r v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhop1.c	. 2 |- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) )
2		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
3	2	rphalfcld 10616	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
4		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( e = ( x / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e <-> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) )
5	4	imbi2d 308	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( x / 2 ) -> ( ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) <-> ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2710	. . . . . . . 8 |- ( e = ( x / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
7	6	rspcv 3008	. . . . . . 7 |- ( ( x / 2 ) e. RR+ -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
8	3, 7	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
9		rabid 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } <-> ( v e. ( A (,) B ) /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) )
10		eliooord 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( A < v /\ v < B ) )
11	10	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( A < v /\ v < B ) )
12	11	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> v < B )
13	12	biantrurd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( v < ( d + A ) <-> ( v < B /\ v < ( d + A ) ) ) )
14		ioossre 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A (,) B ) C_ RR
15		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> v e. ( A (,) B ) )
16	14, 15	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> v e. RR )
17		lhop1.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A e. RR )
18	17	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
19		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> d e. RR+ )
20	19	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> d e. RR )
21	20	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> d e. RR )
22	16, 18, 21	ltsubaddd 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( v - A ) < d <-> v < ( d + A ) ) )
23	16	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> v e. RR* )
24		lhop1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. RR* )
25	24	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
26	17	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> A e. RR )
27	20, 26	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( d + A ) e. RR )
28	27	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( d + A ) e. RR* )
29	28	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( d + A ) e. RR* )
30		xrltmin 10726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. RR* /\ B e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> ( v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <-> ( v < B /\ v < ( d + A ) ) ) )
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <-> ( v < B /\ v < ( d + A ) ) ) )
32	13, 22, 31	3bitr4rd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <-> ( v - A ) < d ) )
33	18	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
34		ifcl 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* )
35	25, 29, 34	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* )
36	11	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> A < v )
37		elioo5 10924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* /\ v e. RR* ) -> ( v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) <-> ( A < v /\ v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) )
38	37	baibd 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* /\ v e. RR* ) /\ A < v ) -> ( v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) <-> v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
39	33, 35, 23, 36, 38	syl31anc 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) <-> v < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
40	18, 16, 36	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> A <_ v )
41	18, 16, 40	abssubge0d 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( v - A ) )
42	41	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < d <-> ( v - A ) < d ) )
43	32, 39, 42	3bitr4d 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) <-> ( abs ` ( v - A ) ) < d ) )
44	43	rabbi2dva 3509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) = { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } )
45	24	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> B e. RR* )
46		xrmin1 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ B )
47	45, 28, 46	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ B )
48		iooss2 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR* /\ if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ B ) -> ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) C_ ( A (,) B ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) C_ ( A (,) B ) )
50		dfss1 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) C_ ( A (,) B ) <-> ( ( A (,) B ) i^i ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) = ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
51	49, 50	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) = ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
52	44, 51	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } = ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
53	52	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( v e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } <-> v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) )
54	9, 53	syl5bbr 251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( v e. ( A (,) B ) /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) <-> v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) )
55		lbioo 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -. A e. ( A (,) B )
56		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = A -> ( y e. ( A (,) B ) <-> A e. ( A (,) B ) ) )
57	55, 56	mtbiri 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = A -> -. y e. ( A (,) B ) )
58	57	necon2ai 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( A (,) B ) -> y =/= A )
59	58	biantrurd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` ( y - A ) ) < d <-> ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) ) )
60	59	bicomd 193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) <-> ( abs ` ( y - A ) ) < d ) )
61		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( ( RR _D F ) ` z ) = ( ( RR _D F ) ` y ) )
62		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( ( RR _D G ) ` z ) = ( ( RR _D G ) ` y ) )
63	61, 62	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) = ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) )
64		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) = ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) )
65		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) e. _V
66	63, 64, 65	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) = ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) )
67	66	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) = ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) )
68	67	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) )
69	68	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) <-> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) )
70	60, 69	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( y - A ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) )
71	70	ralbiia 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. y e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( y - A ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) )
72		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = y -> ( v - A ) = ( y - A ) )
73	72	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = y -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( abs ` ( y - A ) ) )
74	73	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = y -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < d <-> ( abs ` ( y - A ) ) < d ) )
75	74	ralrab 3056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) <-> A. y e. ( A (,) B ) ( ( abs ` ( y - A ) ) < d -> ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) )
76	71, 75	bitr4i 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) <-> A. y e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) )
77	52	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) ) -> { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } = ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
78	77	raleqdv 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) ) -> ( A. y e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) <-> A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) )
79	17	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A e. RR )
80	24	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> B e. RR* )
81		lhop1.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A < B )
82	81	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A < B )
83		lhop1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> F : ( A (,) B ) --> RR )
84	83	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> F : ( A (,) B ) --> RR )
85		lhop1.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G : ( A (,) B ) --> RR )
86	85	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> G : ( A (,) B ) --> RR )
87		lhop1.if	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
88	87	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> dom ( RR _D F ) = ( A (,) B ) )
89		lhop1.ig	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
90	89	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> dom ( RR _D G ) = ( A (,) B ) )
91		lhop1.f0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 e. ( F lim CC A ) )
92	91	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> 0 e. ( F lim CC A ) )
93		lhop1.g0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 0 e. ( G lim CC A ) )
94	93	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> 0 e. ( G lim CC A ) )
95		lhop1.gn0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. 0 e. ran G )
96	95	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> -. 0 e. ran G )
97		lhop1.gd0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
98	97	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
99	1	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) )
100	3	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( x / 2 ) e. RR+ )
101	79	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A e. RR* )
102		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> d e. RR+ )
103	102	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> d e. RR )
104	103, 79	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( d + A ) e. RR )
105		iocssre 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. RR* /\ ( d + A ) e. RR ) -> ( A (,] ( d + A ) ) C_ RR )
106	101, 104, 105	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A (,] ( d + A ) ) C_ RR )
107	80	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ B <_ ( d + A ) ) -> B e. RR* )
108	103	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ -. B <_ ( d + A ) ) -> d e. RR )
109	79	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ -. B <_ ( d + A ) ) -> A e. RR )
110	108, 109	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ -. B <_ ( d + A ) ) -> ( d + A ) e. RR )
111	110	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) /\ -. B <_ ( d + A ) ) -> ( d + A ) e. RR* )
112	107, 111	ifclda 3726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* )
113	79, 102	ltaddrp2d 10634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A < ( d + A ) )
114	104	rexrd 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( d + A ) e. RR* )
115		xrltmin 10726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> ( A < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <-> ( A < B /\ A < ( d + A ) ) ) )
116	101, 80, 114, 115	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( A < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <-> ( A < B /\ A < ( d + A ) ) ) )
117	82, 113, 116	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) )
118		xrmin2 10722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ ( d + A ) )
119	80, 114, 118	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ ( d + A ) )
120		elioc1 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. RR* /\ ( d + A ) e. RR* ) -> ( if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. ( A (,] ( d + A ) ) <-> ( if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* /\ A < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) /\ if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ ( d + A ) ) ) )
121	101, 114, 120	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. ( A (,] ( d + A ) ) <-> ( if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR* /\ A < if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) /\ if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ ( d + A ) ) ) )
122	112, 117, 119, 121	mpbir3and 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. ( A (,] ( d + A ) ) )
123	106, 122	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) e. RR )
124	80, 114, 46	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) <_ B )
125		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) )
126		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) )
127		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A + ( r / 2 ) ) = ( A + ( r / 2 ) )
128	79, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 99, 100, 123, 124, 125, 126, 127	lhop1lem 19850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < ( 2 x. ( x / 2 ) ) )
129	2	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
130		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. CC
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
132		2ne0 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 =/= 0
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 =/= 0 )
134	129, 131, 133	divcan2d 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( x / 2 ) ) = x )
135	134	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( 2 x. ( x / 2 ) ) = x )
136	128, 135	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) /\ A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x )
137	136	expr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) ) -> ( A. y e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) )
138	78, 137	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) ) -> ( A. y e. { v e. ( A (,) B ) | ( abs ` ( v - A ) ) < d } ( abs ` ( ( ( ( RR _D F ) ` y ) / ( ( RR _D G ) ` y ) ) - C ) ) < ( x / 2 ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) )
139	76, 138	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( d e. RR+ /\ v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) ) ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) )
140	139	expr 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( v e. ( A (,) if ( B <_ ( d + A ) , B , ( d + A ) ) ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) ) )
141	54, 140	sylbid 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( v e. ( A (,) B ) /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) ) )
142	141	expdimp 427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < d -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) ) )
143		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = v -> ( F ` z ) = ( F ` v ) )
144		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = v -> ( G ` z ) = ( G ` v ) )
145	143, 144	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = v -> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
146		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) = ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) )
147		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) e. _V
148	145, 146, 147	fvmpt3i 5768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) = ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) )
149	148	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) = ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) )
150	149	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) )
151	150	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) )
152	151	imbi2d 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( A (,) B ) -> ( ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) <-> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) ) )
153	152	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) <-> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` v ) / ( G ` v ) ) - C ) ) < x ) ) )
154	142, 153	sylibrd 226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < d -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
155	154	adantld 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
156	155	com23 74	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( A (,) B ) ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
157	156	ralrimdva 2756	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ d e. RR+ ) -> ( A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
158	157	reximdva 2778	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < ( x / 2 ) ) -> E. d e. RR+ A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
159	8, 158	syld 42	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
160	159	ralrimdva 2756	. . . 4 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) -> A. x e. RR+ E. d e. RR+ A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) )
161	160	anim2d 549	. . 3 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) ) -> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. d e. RR+ A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) ) )
162		dvf 19747	. . . . . . . 8 |- ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC
163	87	feq2d 5540	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC <-> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
164	162, 163	mpbii 203	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D F ) : ( A (,) B ) --> CC )
165	164	ffvelrnda 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` z ) e. CC )
166		dvf 19747	. . . . . . . 8 |- ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC
167	89	feq2d 5540	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D G ) : dom ( RR _D G ) --> CC <-> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC ) )
168	166, 167	mpbii 203	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC )
169	168	ffvelrnda 5829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` z ) e. CC )
170	97	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 e. ran ( RR _D G ) )
171		ffn 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( RR _D G ) : ( A (,) B ) --> CC -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
172	168, 171	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) )
173		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( RR _D G ) Fn ( A (,) B ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` z ) e. ran ( RR _D G ) )
174	172, 173	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` z ) e. ran ( RR _D G ) )
175		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( RR _D G ) ` z ) = 0 -> ( ( ( RR _D G ) ` z ) e. ran ( RR _D G ) <-> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
176	174, 175	syl5ibcom 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D G ) ` z ) = 0 -> 0 e. ran ( RR _D G ) ) )
177	176	necon3bd 2604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( -. 0 e. ran ( RR _D G ) -> ( ( RR _D G ) ` z ) =/= 0 ) )
178	170, 177	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D G ) ` z ) =/= 0 )
179	165, 169, 178	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) e. CC )
180	179, 64	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
181		ax-resscn 9003	. . . . . 6 |- RR C_ CC
182	14, 181	sstri 3317	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ CC
183	182	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
184	17	recnd 9070	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
185	180, 183, 184	ellimc3 19719	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) <-> ( C e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( A (,) B ) ( ( y =/= A /\ ( abs ` ( y - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) ` y ) - C ) ) < e ) ) ) )
186	83	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
187	186	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
188	85	ffvelrnda 5829	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. RR )
189	188	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
190	95	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 e. ran G )
191		ffn 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : ( A (,) B ) --> RR -> G Fn ( A (,) B ) )
192	85, 191	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn ( A (,) B ) )
193		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G Fn ( A (,) B ) /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. ran G )
194	192, 193	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) e. ran G )
195		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` z ) = 0 -> ( ( G ` z ) e. ran G <-> 0 e. ran G ) )
196	194, 195	syl5ibcom 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( G ` z ) = 0 -> 0 e. ran G ) )
197	196	necon3bd 2604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( -. 0 e. ran G -> ( G ` z ) =/= 0 ) )
198	190, 197	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( G ` z ) =/= 0 )
199	187, 189, 198	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) e. CC )
200	199, 146	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
201	200, 183, 184	ellimc3 19719	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC A ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. d e. RR+ A. v e. ( A (,) B ) ( ( v =/= A /\ ( abs ` ( v - A ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) ` v ) - C ) ) < x ) ) ) )
202	161, 185, 201	3imtr4d 260	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( RR _D F ) ` z ) / ( ( RR _D G ) ` z ) ) ) lim CC A ) -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC A ) ) )
203	1, 202	mpd 15	1 |- ( ph -> C e. ( ( z e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` z ) / ( G ` z ) ) ) lim CC A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   i^i cin 3279   C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   x. cmul 8951   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   abscabs 11994   lim CC climc 19702   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  lhop2  19852  lhop  19853

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707