Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1a 18291
 Description: The factors of ablfac1b 18292 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
2 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (#‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
31, 2oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
43breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
54rabbidv 3164 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
109rabex 4740 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
115, 6, 10fvmpt3i 6196 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
1211adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
1312fveq2d 6107 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘(𝑆𝑃)) = (#‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}))
14 ablfac1.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
15 eqid 2610 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}
16 eqid 2610 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}
17 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
19 ablfac1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
20 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
21 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
22 eqid 2610 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
237, 14, 6, 17, 19, 20, 21, 22ablfac1lem 18290 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1 ∧ (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))))
2423simp1d 1066 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ))
2524simpld 474 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
2624simprd 478 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ)
2723simp2d 1067 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1)
2823simp3d 1068 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
297, 14, 15, 16, 18, 25, 26, 27, 28ablfacrp2 18289 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((#‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∧ (#‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
3029simpld 474 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
3113, 30eqtrd 2644 1 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ↑cexp 12722  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  odcod 17767  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  ablfac1c  18293  ablfac1eu  18295  ablfaclem3  18309
 Copyright terms: Public domain W3C validator