Theorem ablfac1a 18291

Description: The factors of ablfac1b 18292 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → 𝑝 = 𝑃)
2		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (#‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
3	1, 2	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
4	3	breq2d 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
5	4	rabbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
6		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
7		ablfac1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	rabex 4740	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
11	5, 6, 10	fvmpt3i 6196	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
13	12	fveq2d 6107	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}))
14		ablfac1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		eqid 2610	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}
16		eqid 2610	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}
17		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
19		ablfac1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
20		ablfac1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
21		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
22		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
23	7, 14, 6, 17, 19, 20, 21, 22	ablfac1lem 18290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1 ∧ (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))))
24	23	simp1d 1066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ))
25	24	simpld 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
26	24	simprd 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ)
27	23	simp2d 1067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1)
28	23	simp3d 1068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
29	7, 14, 15, 16, 18, 25, 26, 27, 28	ablfacrp2 18289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∧ (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
30	29	simpld 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
31	13, 30	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ↑cexp 12722  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  odcod 17767  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  ablfac1c  18293  ablfac1eu  18295  ablfaclem3  18309