MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvacl Structured version   Unicode version

Theorem lmodvacl 17721
Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvacl.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
lmodvacl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )

Proof of Theorem lmodvacl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 17714 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
2 lmodvacl.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lmodvacl.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
42, 3grpcl 16262 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
51, 4syl3an1 1259 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Grpcgrp 16252   LModclmod 17707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-iota 5534  df-fv 5578  df-ov 6273  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-lmod 17709
This theorem is referenced by:  lmodcom  17751  lmodvsghm  17766  lss1  17780  lspprabs  17936  lspabs2  17961  lspabs3  17962  lspfixed  17969  lspexch  17970  lspsolvlem  17983  ipdir  18847  ipdi  18848  ip2di  18849  ocvlss  18876  frlmphl  18983  frlmup1  19000  nmparlem  21848  minveclem2  22007  lincsumcl  33286  lsatfixedN  35131  lfl0f  35191  lfladdcl  35193  lflnegcl  35197  lflvscl  35199  lkrlss  35217  lshpkrlem5  35236  lshpkrlem6  35237  dvh3dim2  37572  dvh3dim3N  37573  lcfrlem17  37683  lcfrlem19  37685  lcfrlem20  37686  lcfrlem23  37689  baerlem3lem1  37831  baerlem5alem1  37832  baerlem5blem1  37833  baerlem5alem2  37835  baerlem5blem2  37836  mapdindp0  37843  mapdindp2  37845  mapdindp4  37847  mapdh6lem2N  37858  mapdh6aN  37859  mapdh6dN  37863  mapdh6eN  37864  mapdh6hN  37867  hdmap1l6lem2  37933  hdmap1l6a  37934  hdmap1l6d  37938  hdmap1l6e  37939  hdmap1l6h  37942  hdmap11lem1  37968  hdmap11lem2  37969  hdmapneg  37973  hdmaprnlem3N  37977  hdmaprnlem3uN  37978  hdmaprnlem6N  37981  hdmaprnlem7N  37982  hdmaprnlem9N  37984  hdmaprnlem3eN  37985  hdmap14lem10  38004  hdmapinvlem3  38047  hdmapinvlem4  38048  hdmapglem7b  38055  hlhilphllem  38086
  Copyright terms: Public domain W3C validator