Theorem lspabs2 18941

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspabs2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspabs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspabs2.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Assertion

Ref	Expression
lspabs2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspabs2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 18927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspabs2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		lspabs2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lspabs2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7	5, 6	lspsnsubg 18801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lspabs2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	5, 6	lspsnsubg 18801	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
12	3, 10, 11	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	13	lsmub2 17895	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
15	8, 12, 14	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
16		lspabs2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
17	16	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
18	13	lsmidm 17900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
19	8, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
20		lspabs2.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
21	5, 20, 6, 3, 4, 10	lspprabs 18916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
22	5, 20	lmodvacl 18700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
23	3, 4, 10, 22	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
24	5, 6, 13, 3, 4, 23	lsmpr 18910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
25	5, 6, 13, 3, 4, 10	lsmpr 18910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	21, 24, 25	3eqtr3d 2652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	17, 19, 26	3eqtr3rd 2653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
28	15, 27	sseqtrd 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
29		lspabs2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
30	5, 29, 6, 1, 9, 4	lspsncmp 18937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
31	28, 30	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
32	31	eqcomd 2616	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924

This theorem is referenced by:  lspindp3  18957