MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs2 Structured version   Unicode version

Theorem lspabs2 17893
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspabs2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lspabs2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspabs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspabs2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspabs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspabs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lspabs2.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
Assertion
Ref Expression
lspabs2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem lspabs2
StepHypRef Expression
1 lspabs2.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17879 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspabs2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
5 lspabs2.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lspabs2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
75, 6lspsnsubg 17753 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
83, 4, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lspabs2.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
109eldifad 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
115, 6lspsnsubg 17753 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
123, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
13 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
1413lsmub2 16804 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
158, 12, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
16 lspabs2.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )
1716oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
1813lsmidm 16809 . . . . . 6  |-  ( ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { X }
) )  =  ( N `  { X } ) )
198, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
20 lspabs2.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
215, 20, 6, 3, 4, 10lspprabs 17868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( X  .+  Y ) } )  =  ( N `  { X ,  Y }
) )
225, 20lmodvacl 17653 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .+  Y )  e.  V )
233, 4, 10, 22syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  V )
245, 6, 13, 3, 4, 23lsmpr 17862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  ( X  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { X }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) ) )
255, 6, 13, 3, 4, 10lsmpr 17862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) ) )
2621, 24, 253eqtr3d 2506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( X  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) ) )
2717, 19, 263eqtr3rd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { X } ) )
2815, 27sseqtrd 3535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { X } ) )
29 lspabs2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
305, 29, 6, 1, 9, 4lspsncmp 17889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  C_  ( N `  { X } )  <->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { X } ) ) )
3128, 30mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { X } ) )
3231eqcomd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857  SubGrpcsubg 16322   LSSumclsm 16781   LModclmod 17639   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876
This theorem is referenced by:  lspindp3  17909
  Copyright terms: Public domain W3C validator