Theorem lsmpr 18910

Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmpr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmpr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmpr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmpr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmpr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lsmpr.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsmpr	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lsmpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmpr.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmpr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3	2	snssd 4281	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
4		lsmpr.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4281	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lsmpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lsmpr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspun 18808	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
9	1, 3, 5, 8	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
10		df-pr 4128	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
11	10	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘({𝑋} ∪ {𝑌})))
13		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	6, 13, 7	lspsncl 18798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	1, 2, 14	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	6, 13, 7	lspsncl 18798	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	1, 4, 16	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18		lsmpr.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
19	13, 7, 18	lsmsp 18907	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
20	1, 15, 17, 19	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘((𝑁‘{𝑋}) ∪ (𝑁‘{𝑌}))))
21	9, 12, 20	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by:  lsppreli  18911  lsmelpr  18912  lsppr0  18913  lspprabs  18916  lspabs2  18941  lspindpi  18953  lsmsat  33313  dvh4dimlem  35750  dvh3dim3N  35756  lclkrlem2c  35816  lcfrlem20  35869  lcfrlem23  35872  mapdindp  35978  mapdindp2  36028  mapdindp4  36030  mapdh6dN  36046  lspindp5  36077  hdmap1l6d  36121  hdmaprnlem3eN  36168