Theorem lspsncl 18798

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 18797). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4280	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
2		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspcl 18797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
6	1, 5	sylan2 490	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  18801  lspsneli  18822  lspsn  18823  lspsnss2  18826  lsmelval2  18906  lsmpr  18910  lsppr  18914  lspprabs  18916  lspsncmp  18937  lspsnne1  18938  lspsnne2  18939  lspabs3  18942  lspsneq  18943  lspdisj  18946  lspdisj2  18948  lspfixed  18949  lspexchn1  18951  lspindpi  18953  lsmcv  18962  lshpnel  33288  lshpnelb  33289  lshpnel2N  33290  lshpdisj  33292  lsatlss  33301  lsmsat  33313  lsatfixedN  33314  lssats  33317  lsmcv2  33334  lsat0cv  33338  lkrlsp  33407  lkrlsp3  33409  lshpsmreu  33414  lshpkrlem5  33419  dochnel  35700  djhlsmat  35734  dihjat1lem  35735  dvh3dim3N  35756  lclkrlem2b  35815  lclkrlem2f  35819  lclkrlem2p  35829  lcfrvalsnN  35848  lcfrlem23  35872  mapdsn  35948  mapdn0  35976  mapdncol  35977  mapdindp  35978  mapdpglem1  35979  mapdpglem2a  35981  mapdpglem3  35982  mapdpglem6  35985  mapdpglem8  35986  mapdpglem9  35987  mapdpglem12  35990  mapdpglem13  35991  mapdpglem14  35992  mapdpglem17N  35995  mapdpglem18  35996  mapdpglem19  35997  mapdpglem21  35999  mapdpglem23  36001  mapdpglem29  36007  mapdindp0  36026  mapdheq4lem  36038  mapdh6lem1N  36040  mapdh6lem2N  36041  mapdh6dN  36046  lspindp5  36077  hdmaplem3  36080  mapdh9a  36097  hdmap1l6lem1  36115  hdmap1l6lem2  36116  hdmap1l6d  36121  hdmap1eulem  36131  hdmap11lem2  36152  hdmapeq0  36154  hdmaprnlem1N  36159  hdmaprnlem3N  36160  hdmaprnlem3uN  36161  hdmaprnlem4N  36163  hdmaprnlem7N  36165  hdmaprnlem8N  36166  hdmaprnlem9N  36167  hdmaprnlem3eN  36168  hdmaprnlem16N  36172  hdmap14lem9  36186  hgmaprnlem2N  36207  hdmapglem7a  36237