Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindpi 18953
 Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindpi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindpi.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindpi.x (𝜑𝑋𝑉)
lspindpi.y (𝜑𝑌𝑉)
lspindpi.z (𝜑𝑍𝑉)
lspindpi.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspindpi (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 18927 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
65lsssssubg 18779 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
119, 5, 10lspsncl 18798 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
124, 8, 11syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 12sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑉)
159, 5, 10lspsncl 18798 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
164, 14, 15syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
177, 16sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1918lsmub1 17894 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2013, 17, 19syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 18910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2220, 21sseqtr4d 3605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 sseq1 3589 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2422, 23syl5ibrcom 236 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 18799 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 lspindpi.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 18816 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2824, 27sylibrd 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2928necon3bd 2796 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
301, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3118lsmub2 17895 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3213, 17, 31syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3332, 21sseqtr4d 3605 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
34 sseq1 3589 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3533, 34syl5ibrcom 236 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3635, 27sylibrd 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3736necon3bd 2796 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
381, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3930, 38jca 553 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  lspindp1  18954  baerlem5amN  36023  baerlem5bmN  36024  baerlem5abmN  36025  mapdindp4  36030  mapdh6bN  36044  mapdh6cN  36045  mapdh6dN  36046  mapdh6eN  36047  mapdh6fN  36048  mapdh6hN  36050  mapdh7eN  36055  mapdh7dN  36057  mapdh7fN  36058  mapdh75fN  36062  mapdh8aa  36083  mapdh8ab  36084  mapdh8ad  36086  mapdh8c  36088  mapdh8d0N  36089  mapdh8d  36090  mapdh8e  36091  mapdh9a  36097  mapdh9aOLDN  36098  hdmap1eq4N  36114  hdmap1l6b  36119  hdmap1l6c  36120  hdmap1l6d  36121  hdmap1l6e  36122  hdmap1l6f  36123  hdmap1l6h  36125  hdmap1eulemOLDN  36132  hdmapval0  36143  hdmapval3lemN  36147  hdmap10lem  36149  hdmap11lem1  36151  hdmap14lem11  36188
 Copyright terms: Public domain W3C validator