Theorem lsmelval2 18906

Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmelval2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmelval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmelval2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmelval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmelval2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lsmelval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lsmelval2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsmelval2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧, ⊕   𝑦,𝑇,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lsmelval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmelval2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmelval2.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
3		lsmelval2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	3	lsssubg 18778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5	1, 2, 4	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
6		lsmelval2.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	3	lsssubg 18778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	1, 6, 7	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
10		lsmelval2.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	9, 10	lsmelval 17887	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
12	5, 8, 11	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧)))
13	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ 𝑆)
15		simprl 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
16		lsmelval2.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
17	16, 3	lssel 18759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑉)
18	14, 15, 17	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
19		lsmelval2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
20	16, 3, 19	lspsncl 18798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
21	13, 18, 20	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
22	3	lsssubg 18778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
23	13, 21, 22	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
25		simprr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
26	16, 3	lssel 18759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑉)
27	24, 25, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	16, 3, 19	lspsncl 18798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
29	13, 27, 28	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆)
30	3	lsssubg 18778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
31	13, 29, 30	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
32	16, 19	lspsnid 18814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
33	13, 18, 32	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
34	16, 19	lspsnid 18814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
35	13, 27, 34	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))
36	9, 10	lsmelvali 17888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁‘{𝑦}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑧}))) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
37	23, 31, 33, 35, 36	syl22anc 1319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
38		eleq1a 2683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑊)𝑧) ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
40	3, 10	lsmcl 18904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
41	13, 21, 29, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ∈ 𝑆)
42	16, 3, 19, 13, 41	lspsnel6 18815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
43	39, 42	sylibd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
44	43	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
45	44	reximdva 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
46	45	reximdva 3000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦(+g‘𝑊)𝑧) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
47	12, 46	sylbid 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
48	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
49	3, 19, 13, 14, 15	lspsnel5a 18817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇)
50	10	lsmless1 17897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑇) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
51	48, 31, 49, 50	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})))
52	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	3, 19, 13, 24, 25	lspsnel5a 18817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
54	10	lsmless2 17898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
55	48, 52, 53, 54	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑇 ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
56	51, 55	sstrd 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
57	56	sseld 3567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
58	42, 57	sylbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
59	58	rexlimdvva 3020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
60	47, 59	impbid 201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))
61		r19.42v 3073	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
62	61	rexbii 3023	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
63		r19.42v 3073	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
64	62, 63	bitri 263	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧}))))
65	60, 64	syl6bb 275	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑦}) ⊕ (𝑁‘{𝑧})))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by:  dihjat1lem  35735