MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Structured version   Unicode version

Theorem lspsncl 17184
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 17183). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 4128 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 17183 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 474 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   {csn 3988   ` cfv 5529   Basecbs 14295   LModclmod 17074   LSubSpclss 17139   LSpanclspn 17178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  17187  lspsneli  17208  lspsn  17209  lspsnss2  17212  lsmelval2  17292  lsmpr  17296  lsppr  17300  lspprabs  17302  lspsncmp  17323  lspsnne1  17324  lspsnne2  17325  lspabs3  17328  lspsneq  17329  lspdisj  17332  lspdisj2  17334  lspfixed  17335  lspexchn1  17337  lspindpi  17339  lsmcv  17348  lshpnel  32986  lshpnelb  32987  lshpnel2N  32988  lshpdisj  32990  lsatlss  32999  lsmsat  33011  lsatfixedN  33012  lssats  33015  lsmcv2  33032  lsat0cv  33036  lkrlsp  33105  lkrlsp3  33107  lshpsmreu  33112  lshpkrlem5  33117  dochnel  35396  djhlsmat  35430  dihjat1lem  35431  dvh3dim3N  35452  lclkrlem2b  35511  lclkrlem2f  35515  lclkrlem2p  35525  lcfrvalsnN  35544  lcfrlem23  35568  mapdsn  35644  mapdn0  35672  mapdncol  35673  mapdindp  35674  mapdpglem1  35675  mapdpglem2a  35677  mapdpglem3  35678  mapdpglem6  35681  mapdpglem8  35682  mapdpglem9  35683  mapdpglem12  35686  mapdpglem13  35687  mapdpglem14  35688  mapdpglem17N  35691  mapdpglem18  35692  mapdpglem19  35693  mapdpglem21  35695  mapdpglem23  35697  mapdpglem29  35703  mapdindp0  35722  mapdheq4lem  35734  mapdh6lem1N  35736  mapdh6lem2N  35737  mapdh6dN  35742  lspindp5  35773  hdmaplem3  35776  mapdh9a  35793  hdmap1l6lem1  35811  hdmap1l6lem2  35812  hdmap1l6d  35817  hdmap1eulem  35827  hdmap11lem2  35848  hdmapeq0  35850  hdmaprnlem1N  35855  hdmaprnlem3N  35856  hdmaprnlem3uN  35857  hdmaprnlem4N  35859  hdmaprnlem7N  35861  hdmaprnlem8N  35862  hdmaprnlem9N  35863  hdmaprnlem3eN  35864  hdmaprnlem16N  35868  hdmap14lem9  35882  hgmaprnlem2N  35903  hdmapglem7a  35933
  Copyright terms: Public domain W3C validator