MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Structured version   Unicode version

Theorem lspsncl 18141
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 18140). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 4138 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 18140 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 476 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    C_ wss 3433   {csn 3993   ` cfv 5592   Basecbs 15081   LModclmod 18032   LSubSpclss 18096   LSpanclspn 18135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-plusg 15163  df-0g 15300  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  18144  lspsneli  18165  lspsn  18166  lspsnss2  18169  lsmelval2  18249  lsmpr  18253  lsppr  18257  lspprabs  18259  lspsncmp  18280  lspsnne1  18281  lspsnne2  18282  lspabs3  18285  lspsneq  18286  lspdisj  18289  lspdisj2  18291  lspfixed  18292  lspexchn1  18294  lspindpi  18296  lsmcv  18305  lshpnel  32302  lshpnelb  32303  lshpnel2N  32304  lshpdisj  32306  lsatlss  32315  lsmsat  32327  lsatfixedN  32328  lssats  32331  lsmcv2  32348  lsat0cv  32352  lkrlsp  32421  lkrlsp3  32423  lshpsmreu  32428  lshpkrlem5  32433  dochnel  34714  djhlsmat  34748  dihjat1lem  34749  dvh3dim3N  34770  lclkrlem2b  34829  lclkrlem2f  34833  lclkrlem2p  34843  lcfrvalsnN  34862  lcfrlem23  34886  mapdsn  34962  mapdn0  34990  mapdncol  34991  mapdindp  34992  mapdpglem1  34993  mapdpglem2a  34995  mapdpglem3  34996  mapdpglem6  34999  mapdpglem8  35000  mapdpglem9  35001  mapdpglem12  35004  mapdpglem13  35005  mapdpglem14  35006  mapdpglem17N  35009  mapdpglem18  35010  mapdpglem19  35011  mapdpglem21  35013  mapdpglem23  35015  mapdpglem29  35021  mapdindp0  35040  mapdheq4lem  35052  mapdh6lem1N  35054  mapdh6lem2N  35055  mapdh6dN  35060  lspindp5  35091  hdmaplem3  35094  mapdh9a  35111  hdmap1l6lem1  35129  hdmap1l6lem2  35130  hdmap1l6d  35135  hdmap1eulem  35145  hdmap11lem2  35166  hdmapeq0  35168  hdmaprnlem1N  35173  hdmaprnlem3N  35174  hdmaprnlem3uN  35175  hdmaprnlem4N  35177  hdmaprnlem7N  35179  hdmaprnlem8N  35180  hdmaprnlem9N  35181  hdmaprnlem3eN  35182  hdmaprnlem16N  35186  hdmap14lem9  35200  hgmaprnlem2N  35221  hdmapglem7a  35251
  Copyright terms: Public domain W3C validator