MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncl Structured version   Unicode version

Theorem lspsncl 17435
Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 17434). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspval.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspval.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspval.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsncl  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)

Proof of Theorem lspsncl
StepHypRef Expression
1 snssi 4171 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  { X }  C_  V )
2 lspval.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 lspval.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
4 lspval.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
52, 3, 4lspcl 17434 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
61, 5sylan2 474 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588   Basecbs 14493   LModclmod 17324   LSubSpclss 17390   LSpanclspn 17429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430
This theorem is referenced by:  lspsnsubg  17438  lspsneli  17459  lspsn  17460  lspsnss2  17463  lsmelval2  17543  lsmpr  17547  lsppr  17551  lspprabs  17553  lspsncmp  17574  lspsnne1  17575  lspsnne2  17576  lspabs3  17579  lspsneq  17580  lspdisj  17583  lspdisj2  17585  lspfixed  17586  lspexchn1  17588  lspindpi  17590  lsmcv  17599  lshpnel  33997  lshpnelb  33998  lshpnel2N  33999  lshpdisj  34001  lsatlss  34010  lsmsat  34022  lsatfixedN  34023  lssats  34026  lsmcv2  34043  lsat0cv  34047  lkrlsp  34116  lkrlsp3  34118  lshpsmreu  34123  lshpkrlem5  34128  dochnel  36407  djhlsmat  36441  dihjat1lem  36442  dvh3dim3N  36463  lclkrlem2b  36522  lclkrlem2f  36526  lclkrlem2p  36536  lcfrvalsnN  36555  lcfrlem23  36579  mapdsn  36655  mapdn0  36683  mapdncol  36684  mapdindp  36685  mapdpglem1  36686  mapdpglem2a  36688  mapdpglem3  36689  mapdpglem6  36692  mapdpglem8  36693  mapdpglem9  36694  mapdpglem12  36697  mapdpglem13  36698  mapdpglem14  36699  mapdpglem17N  36702  mapdpglem18  36703  mapdpglem19  36704  mapdpglem21  36706  mapdpglem23  36708  mapdpglem29  36714  mapdindp0  36733  mapdheq4lem  36745  mapdh6lem1N  36747  mapdh6lem2N  36748  mapdh6dN  36753  lspindp5  36784  hdmaplem3  36787  mapdh9a  36804  hdmap1l6lem1  36822  hdmap1l6lem2  36823  hdmap1l6d  36828  hdmap1eulem  36838  hdmap11lem2  36859  hdmapeq0  36861  hdmaprnlem1N  36866  hdmaprnlem3N  36867  hdmaprnlem3uN  36868  hdmaprnlem4N  36870  hdmaprnlem7N  36872  hdmaprnlem8N  36873  hdmaprnlem9N  36874  hdmaprnlem3eN  36875  hdmaprnlem16N  36879  hdmap14lem9  36893  hgmaprnlem2N  36914  hdmapglem7a  36944
  Copyright terms: Public domain W3C validator