Theorem lspsnne2 18939

Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnne2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnne2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnne2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnne2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnne2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnne2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
2		eqimss 3620	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsnne2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnne2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspsnne2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsnne2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4, 5	lspsncl 18798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 7, 8	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspsnne2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 9, 10	lspsnel5 18816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
12	2, 11	syl5ibr 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3bd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by:  lspsnnecom  18940  lspexchn1  18951  hdmaplem1  36078  hdmaplem2N  36079  mapdh9a  36097  hdmap1eulem  36131  hdmap11lem1  36151  hdmap11lem2  36152  hdmaprnlem1N  36159  hdmaprnlem3N  36160