Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel2N 33290
Description: Condition that determines a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lshpnel2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel2.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnel2.u (𝜑𝑈𝑆)
lshpnel2.t (𝜑𝑈𝑉)
lshpnel2.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel2.e (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
lshpnel2N (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnel2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnel2.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → ¬ 𝑋𝑈)
3 lshpnel2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lshpnel2.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lshpnel2.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnel2.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnel2.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
9 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑈𝐻)
10 lshpnel2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑈𝐻) → 𝑋𝑉)
123, 4, 5, 6, 8, 9, 11lshpnelb 33289 . . 3 ((𝜑𝑈𝐻) → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
132, 12mpbid 221 . 2 ((𝜑𝑈𝐻) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
14 lshpnel2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑆)
16 lshpnel2.t . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝑉)
1810adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
19 lveclmod 18927 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
207, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
21 lshpnel2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2221, 4lspid 18803 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2320, 14, 22syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑈) = 𝑈)
2423uneq1d 3728 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋})))
2524fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
263, 21lssss 18758 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆𝑈𝑉)
2714, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
2810snssd 4281 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
293, 4lspun 18808 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3020, 27, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁𝑈) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
313, 21, 4lspsncl 18798 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3220, 10, 31syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
3321, 4, 5lsmsp 18907 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3420, 14, 32, 33syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
3525, 30, 343eqtr4rd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
3635eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
3736biimpa 500 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉)
38 sneq 4135 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
3938uneq2d 3729 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑈 ∪ {𝑣}) = (𝑈 ∪ {𝑋}))
4039fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})))
4140eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → ((𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉))
4241rspcev 3282 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
4318, 37, 42syl2anc 691 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)
447adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
453, 4, 21, 6islshp 33284 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4644, 45syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈𝑆𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑁‘(𝑈 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4715, 17, 43, 46mpbir3and 1238 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
4813, 47impbida 873 1 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cun 3538  wss 3540  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator