Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp3 33409
 Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 18927 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1081 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2610 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 33400 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
106, 9lspid 18803 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
112, 8, 10syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
1211uneq1d 3728 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
1312fveq2d 6107 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14 lkrlsp3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 33401 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
16 simp2l 1080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
1716snssd 4281 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1814, 9lspun 18808 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
192, 15, 17, 18syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2014, 6, 9lspsncl 18798 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
212, 16, 20syl2anc 691 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 eqid 2610 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
236, 9, 22lsmsp 18907 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
242, 8, 21, 23syl3anc 1318 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2513, 19, 243eqtr4d 2654 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 33408 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2725, 26eqtrd 2644 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lfl 33363  df-lkr 33391 This theorem is referenced by:  lkrshp  33410
 Copyright terms: Public domain W3C validator