Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpdisj 33292
Description: A hyperplane and the span in the hyperplane definition are disjoint. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpdisj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpdisj.o 0 = (0g𝑊)
lshpdisj.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpdisj.p = (LSSum‘𝑊)
lshpdisj.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpdisj.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpdisj.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpdisj.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpdisj.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpdisj (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })

Proof of Theorem lshpdisj
Dummy variables 𝑣 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpdisj.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18927 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5 lshpdisj.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝑋𝑉)
7 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
9 lshpdisj.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
11 lshpdisj.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11lspsnel 18824 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
134, 6, 12syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋)))
14 lshpdisj.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (LSSum‘𝑊)
15 lshpdisj.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
16 lshpdisj.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈𝐻)
17 lshpdisj.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
189, 11, 14, 15, 3, 16, 5, 17lshpnel 33288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1918ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ 𝑋𝑈)
20 lshpdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑊)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
221ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2321, 15, 3, 16lshplss 33286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2423ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
255ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝑉)
263adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
285adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋𝑉)
299, 10, 7, 8, 11, 26, 27, 28lspsneli 18822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 )
329, 20, 21, 11, 22, 24, 25, 30, 31lspsnel4 18945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → (𝑋𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
3319, 32mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 ) → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3433ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ≠ 0 → ¬ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
3534necon4ad 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ))
36 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈))
37 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣 = 0 ↔ (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 ))
3836, 37imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → ((𝑣𝑈𝑣 = 0 ) ↔ ((𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑈 → (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) = 0 )))
3935, 38syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 )))
4039ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 ))))
4140com23 84 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣𝑈𝑣 = 0 ))))
4241com24 93 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑣𝑈 → (𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))))
4342imp31 447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4443rexlimdva 3013 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑣 = (𝑘( ·𝑠𝑊)𝑋) → 𝑣 = 0 ))
4513, 44sylbid 229 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑣 = 0 ))
4645expimpd 627 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝑈𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 = 0 ))
47 elin 3758 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑣𝑈𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
48 velsn 4141 . . . 4 (𝑣 ∈ { 0 } ↔ 𝑣 = 0 )
4946, 47, 483imtr4g 284 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑣 ∈ { 0 }))
5049ssrdv 3574 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ { 0 })
519, 21, 11lspsncl 18798 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
523, 5, 51syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5321lssincl 18786 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
543, 23, 52, 53syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5520, 21lss0ss 18770 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
563, 54, 55syl2anc 691 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})))
5750, 56eqssd 3585 1 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑁‘{𝑋})) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-lsm 17874  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lshyp 33282
This theorem is referenced by:  lshpsmreu  33414  lshpkrlem5  33419
  Copyright terms: Public domain W3C validator