Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6lem1N 36040
Description: Lemma for mapdh6N 36054. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdhe6.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6lem1N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼   + ,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6lem1N
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 35417 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 mapdhe6.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3552 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
11 mapdh.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1311, 12lmodvsubcl 18731 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
146, 8, 10, 13syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1611, 4, 15lspsncl 18798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 14, 16syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 mapdhe6.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2011, 4, 15lspsncl 18798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
216, 19, 20syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
234, 22lsmcl 18904 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 17, 21, 23syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2511, 12lmodvsubcl 18731 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
266, 8, 19, 25syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
2711, 4, 15lspsncl 18798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
286, 26, 27syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2911, 4, 15lspsncl 18798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 10, 29syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 22lsmcl 18904 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 28, 30, 31syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 24, 32mapdin 35969 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2610 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21mapdlsm 35971 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
371, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30mapdlsm 35971 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3836, 37ineq12d 3777 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39 mapdh6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
41 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
42 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
43 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
44 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
45 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
46 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
47 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
481, 3, 5dvhlvec 35416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
49 mapdh6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50 mapdhe6.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5111, 42, 15, 48, 10, 18, 8, 49, 50lspindp2 18956 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5251simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 10, 52mapdhcl 36034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5439, 53eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5540, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 9, 54, 52mapdheq 36035 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5639, 55mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5756simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
58 mapdh6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
5911, 42, 15, 48, 9, 19, 8, 49, 50lspindp1 18954 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6059simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
6140, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 19, 60mapdhcl 36034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6258, 61eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 18, 62, 60mapdheq 36035 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6458, 63mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6564simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6657, 65oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6764simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6856simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
6967, 68oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺})))
7066, 69ineq12d 3777 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7138, 70eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7233, 71eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
73 mapdh.p . . . 4 + = (+g𝑈)
7411, 12, 42, 22, 15, 48, 8, 50, 49, 9, 18, 73baerlem5a 36021 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
7574fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
761, 34, 5lcdlvec 35898 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 46, 47, 8, 10, 54, 68, 19, 62, 65, 50mapdindp 35978 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 10, 19, 62, 65, 49mapdncol 35977 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 42, 40, 9mapdn0 35976 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 62, 65, 42, 40, 18mapdn0 35976 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81 mapdh.a . . 3 = (+g𝐶)
8243, 44, 40, 35, 45, 76, 46, 77, 78, 79, 80, 81baerlem5a 36021 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
8372, 75, 823eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cdif 3537  cin 3539  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  cotp 4133  cmpt 4643  cfv 5804  crio 6510  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  -gcsg 17247  LSSumclsm 17872  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932
This theorem is referenced by:  mapdh6lem2N  36041  mapdh6aN  36042
  Copyright terms: Public domain W3C validator