Theorem dvhlvec 35416

Description: The full vector space 𝑈 constructed from a Hilbert lattice 𝐾 (given a fiducial hyperplane 𝑊) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhlvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhlvec.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhlvec.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvhlvec	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvhlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhlvec.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dvhlvec.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		dvhlvec.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
8		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
9		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
10		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
11		eqid 2610	. . 3 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑈)) = (invg‘(Scalar‘𝑈))
12		eqid 2610	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑈)) = (.r‘(Scalar‘𝑈))
13		eqid 2610	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dvhlveclem 35415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  inv_gcminusg 17246  LVecclvec 18923  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058  DVecHcdvh 35385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lvec 18924  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dvech 35386

This theorem is referenced by:  dvhlmod  35417  dih1dimatlem  35636  dihlspsnssN  35639  dihlspsnat  35640  dihpN  35643  dihlatat  35644  dochsat  35690  dochshpncl  35691  dochlkr  35692  dochkrshp  35693  dochkrshp3  35695  dvh2dimatN  35747  dvh3dim3N  35756  dochsatshp  35758  dochsatshpb  35759  dochexmidat  35766  dochexmidlem3  35769  dochsnkr  35779  dochsnkr2  35780  dochflcl  35782  dochfl1  35783  dochkr1  35785  dochkr1OLDN  35786  lcfl6lem  35805  lcfl7lem  35806  lcfl9a  35812  lclkrlem1  35813  lclkrlem2a  35814  lclkrlem2e  35818  lclkrlem2g  35820  lclkrlem2h  35821  lclkrlem2o  35828  lclkrlem2p  35829  lclkrlem2q  35830  lclkrlem2s  35832  lclkrlem2v  35835  lclkrslem1  35844  lcfrvalsnN  35848  lcfrlem16  35865  lcfrlem20  35869  lcfrlem25  35874  lcfrlem29  35878  lcfrlem31  35880  lcfrlem33  35882  lcfrlem35  35884  lcdlvec  35898  lcdlkreqN  35929  lcdlkreq2N  35930  mapdordlem2  35944  mapdsn3  35950  mapdrvallem2  35952  mapdcnvatN  35973  mapdat  35974  mapdpglem10  35988  mapdpglem15  35993  mapdpglem17N  35995  mapdpglem18  35996  mapdpglem19  35997  mapdpglem21  35999  mapdpglem22  36000  mapdheq4lem  36038  mapdheq4  36039  mapdh6lem1N  36040  mapdh6lem2N  36041  mapdh6aN  36042  mapdh6b0N  36043  mapdh6bN  36044  mapdh6cN  36045  mapdh6dN  36046  mapdh6eN  36047  mapdh6fN  36048  mapdh6hN  36050  mapdh7eN  36055  mapdh7dN  36057  mapdh7fN  36058  mapdh75fN  36062  mapdh8aa  36083  mapdh8ab  36084  mapdh8ad  36086  mapdh8b  36087  mapdh8c  36088  mapdh8d0N  36089  mapdh8d  36090  mapdh8e  36091  mapdh9a  36097  mapdh9aOLDN  36098  hdmap1eq4N  36114  hdmap1l6lem1  36115  hdmap1l6lem2  36116  hdmap1l6a  36117  hdmap1l6b0N  36118  hdmap1l6b  36119  hdmap1l6c  36120  hdmap1l6d  36121  hdmap1l6e  36122  hdmap1l6f  36123  hdmap1l6h  36125  hdmap1eulemOLDN  36132  hdmapval0  36143  hdmapval3lemN  36147  hdmap10lem  36149  hdmap11lem1  36151  hdmap11lem2  36152  hdmaprnlem4N  36163  hdmaprnlem3eN  36168  hdmap14lem1a  36176  hdmap14lem4a  36181  hdmap14lem11  36188  hgmap11  36212  hdmaplkr  36223  hdmapip1  36226  hgmapvvlem1  36233  hgmapvvlem2  36234  hgmapvvlem3  36235  hlhillvec  36261