Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochlkr 35692
 Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochlkr.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochlkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochlkr.y 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochlkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochlkr.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
dochlkr (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
75, 6, 1dvhlmod 35417 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 33401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈))
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
115, 6, 2, 10dochocss 35673 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (Base‘𝑈)) → (𝐿𝐺) ⊆ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))))
121, 9, 11syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → (𝐿𝐺) ⊆ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))))
14 dochlkr.y . . . . . . 7 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
155, 6, 1dvhlvec 35416 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
177adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
18 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌)
192, 14, 17, 18lshpne 33287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ (Base‘𝑈))
2019ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ (Base‘𝑈)))
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 33412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿𝐺) ∈ 𝑌 ∨ (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)))
2221ord 391 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌 → (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)))
23 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘(Base‘𝑈)))
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘(Base‘𝑈))))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘(Base‘𝑈))))
261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
275, 6, 10, 2, 26dochoc1 35668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)) → ( ‘( ‘(Base‘𝑈))) = (Base‘𝑈))
2825, 27eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐿𝐺) = (Base‘𝑈)) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (Base‘𝑈))
2928ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = (Base‘𝑈) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (Base‘𝑈)))
3022, 29syld 46 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (Base‘𝑈)))
3130necon1ad 2799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ (Base‘𝑈) → (𝐿𝐺) ∈ 𝑌))
3220, 31syld 46 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 → (𝐿𝐺) ∈ 𝑌))
3332imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → (𝐿𝐺) ∈ 𝑌)
3414, 16, 33, 18lshpcmp 33293 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → ((𝐿𝐺) ⊆ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ↔ (𝐿𝐺) = ( ‘( ‘(𝐿𝐺)))))
3513, 34mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → (𝐿𝐺) = ( ‘( ‘(𝐿𝐺))))
3635eqcomd 2616 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
3736, 33jca 553 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌))
3837ex 449 . 2 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌)))
39 eleq1 2676 . . 3 (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 ↔ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌))
4039biimpar 501 . 2 ((( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌)
4138, 40impbid1 214 1 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ∈ 𝑌 ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ∈ 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  LSHypclsh 33280  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  ocHcoch 35654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655 This theorem is referenced by:  dochkrshp  35693  dochkrshp2  35694  mapdordlem1a  35941  mapdordlem2  35944
 Copyright terms: Public domain W3C validator