Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Unicode version

Theorem dvhlvec 37249
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2382 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2382 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2382 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2382 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2382 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2382 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2382 . . 3  |-  ( invg `  (Scalar `  U ) )  =  ( invg `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2382 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2382 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 37248 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   invgcminusg 16171   LVecclvec 17861   HLchlt 35488   LHypclh 36121   LTrncltrn 36238   TEndoctendo 36891   DVecHcdvh 37218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-riotaBAD 35097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-undef 6920  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-0g 14849  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-p1 15787  df-lat 15793  df-clat 15855  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-dvr 17445  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lvec 17862  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637  df-lines 35638  df-psubsp 35640  df-pmap 35641  df-padd 35933  df-lhyp 36125  df-laut 36126  df-ldil 36241  df-ltrn 36242  df-trl 36297  df-tendo 36894  df-edring 36896  df-dvech 37219
This theorem is referenced by:  dvhlmod  37250  dih1dimatlem  37469  dihlspsnssN  37472  dihlspsnat  37473  dihpN  37476  dihlatat  37477  dochsat  37523  dochshpncl  37524  dochlkr  37525  dochkrshp  37526  dochkrshp3  37528  dvh2dimatN  37580  dvh3dim3N  37589  dochsatshp  37591  dochsatshpb  37592  dochexmidat  37599  dochexmidlem3  37602  dochsnkr  37612  dochsnkr2  37613  dochflcl  37615  dochfl1  37616  dochkr1  37618  dochkr1OLDN  37619  lcfl6lem  37638  lcfl7lem  37639  lcfl9a  37645  lclkrlem1  37646  lclkrlem2a  37647  lclkrlem2e  37651  lclkrlem2g  37653  lclkrlem2h  37654  lclkrlem2o  37661  lclkrlem2p  37662  lclkrlem2q  37663  lclkrlem2s  37665  lclkrlem2v  37668  lclkrslem1  37677  lcfrvalsnN  37681  lcfrlem16  37698  lcfrlem20  37702  lcfrlem25  37707  lcfrlem29  37711  lcfrlem31  37713  lcfrlem33  37715  lcfrlem35  37717  lcdlvec  37731  lcdlkreqN  37762  lcdlkreq2N  37763  mapdordlem2  37777  mapdsn3  37783  mapdrvallem2  37785  mapdcnvatN  37806  mapdat  37807  mapdpglem10  37821  mapdpglem15  37826  mapdpglem17N  37828  mapdpglem18  37829  mapdpglem19  37830  mapdpglem21  37832  mapdpglem22  37833  mapdheq4lem  37871  mapdheq4  37872  mapdh6lem1N  37873  mapdh6lem2N  37874  mapdh6aN  37875  mapdh6b0N  37876  mapdh6bN  37877  mapdh6cN  37878  mapdh6dN  37879  mapdh6eN  37880  mapdh6fN  37881  mapdh6hN  37883  mapdh7eN  37888  mapdh7dN  37890  mapdh7fN  37891  mapdh75fN  37895  mapdh8aa  37916  mapdh8ab  37917  mapdh8ad  37919  mapdh8b  37920  mapdh8c  37921  mapdh8d0N  37922  mapdh8d  37923  mapdh8e  37924  mapdh9a  37930  mapdh9aOLDN  37931  hdmap1eq4N  37947  hdmap1l6lem1  37948  hdmap1l6lem2  37949  hdmap1l6a  37950  hdmap1l6b0N  37951  hdmap1l6b  37952  hdmap1l6c  37953  hdmap1l6d  37954  hdmap1l6e  37955  hdmap1l6f  37956  hdmap1l6h  37958  hdmap1eulemOLDN  37965  hdmapval0  37976  hdmapval3lemN  37980  hdmap10lem  37982  hdmap11lem1  37984  hdmap11lem2  37985  hdmaprnlem4N  37996  hdmaprnlem3eN  38001  hdmap14lem1a  38009  hdmap14lem4a  38014  hdmap14lem11  38021  hgmap11  38045  hdmaplkr  38056  hdmapip1  38059  hgmapvvlem1  38066  hgmapvvlem2  38067  hgmapvvlem3  38068  hlhillvec  38094
  Copyright terms: Public domain W3C validator