Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Unicode version

Theorem dvhlvec 35781
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2460 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2460 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2460 . . 3  |-  ( invg `  (Scalar `  U ) )  =  ( invg `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2460 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2460 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 35780 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   0gc0g 14684   invgcminusg 15717   LVecclvec 17524   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   TEndoctendo 35423   DVecHcdvh 35750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lvec 17525  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dvech 35751
This theorem is referenced by:  dvhlmod  35782  dih1dimatlem  36001  dihlspsnssN  36004  dihlspsnat  36005  dihpN  36008  dihlatat  36009  dochsat  36055  dochshpncl  36056  dochlkr  36057  dochkrshp  36058  dochkrshp3  36060  dvh2dimatN  36112  dvh3dim3N  36121  dochsatshp  36123  dochsatshpb  36124  dochexmidat  36131  dochexmidlem3  36134  dochsnkr  36144  dochsnkr2  36145  dochflcl  36147  dochfl1  36148  dochkr1  36150  dochkr1OLDN  36151  lcfl6lem  36170  lcfl7lem  36171  lcfl9a  36177  lclkrlem1  36178  lclkrlem2a  36179  lclkrlem2e  36183  lclkrlem2g  36185  lclkrlem2h  36186  lclkrlem2o  36193  lclkrlem2p  36194  lclkrlem2q  36195  lclkrlem2s  36197  lclkrlem2v  36200  lclkrslem1  36209  lcfrvalsnN  36213  lcfrlem16  36230  lcfrlem20  36234  lcfrlem25  36239  lcfrlem29  36243  lcfrlem31  36245  lcfrlem33  36247  lcfrlem35  36249  lcdlvec  36263  lcdlkreqN  36294  lcdlkreq2N  36295  mapdordlem2  36309  mapdsn3  36315  mapdrvallem2  36317  mapdcnvatN  36338  mapdat  36339  mapdpglem10  36353  mapdpglem15  36358  mapdpglem17N  36360  mapdpglem18  36361  mapdpglem19  36362  mapdpglem21  36364  mapdpglem22  36365  mapdheq4lem  36403  mapdheq4  36404  mapdh6lem1N  36405  mapdh6lem2N  36406  mapdh6aN  36407  mapdh6b0N  36408  mapdh6bN  36409  mapdh6cN  36410  mapdh6dN  36411  mapdh6eN  36412  mapdh6fN  36413  mapdh6hN  36415  mapdh7eN  36420  mapdh7dN  36422  mapdh7fN  36423  mapdh75fN  36427  mapdh8aa  36448  mapdh8ab  36449  mapdh8ad  36451  mapdh8b  36452  mapdh8c  36453  mapdh8d0N  36454  mapdh8d  36455  mapdh8e  36456  mapdh9a  36462  mapdh9aOLDN  36463  hdmap1eq4N  36479  hdmap1l6lem1  36480  hdmap1l6lem2  36481  hdmap1l6a  36482  hdmap1l6b0N  36483  hdmap1l6b  36484  hdmap1l6c  36485  hdmap1l6d  36486  hdmap1l6e  36487  hdmap1l6f  36488  hdmap1l6h  36490  hdmap1eulemOLDN  36497  hdmapval0  36508  hdmapval3lemN  36512  hdmap10lem  36514  hdmap11lem1  36516  hdmap11lem2  36517  hdmaprnlem4N  36528  hdmaprnlem3eN  36533  hdmap14lem1a  36541  hdmap14lem4a  36546  hdmap14lem11  36553  hgmap11  36577  hdmaplkr  36588  hdmapip1  36591  hgmapvvlem1  36598  hgmapvvlem2  36599  hgmapvvlem3  36600  hlhillvec  36626
  Copyright terms: Public domain W3C validator