Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Unicode version

Theorem dvhlvec 36711
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2443 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( invg `  (Scalar `  U ) )  =  ( invg `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2443 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 36710 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   .rcmulr 14680  Scalarcsca 14682   .scvsca 14683   0gc0g 14819   invgcminusg 16033   LVecclvec 17727   HLchlt 34950   LHypclh 35583   LTrncltrn 35700   TEndoctendo 36353   DVecHcdvh 36680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-0g 14821  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lvec 17728  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759  df-tendo 36356  df-edring 36358  df-dvech 36681
This theorem is referenced by:  dvhlmod  36712  dih1dimatlem  36931  dihlspsnssN  36934  dihlspsnat  36935  dihpN  36938  dihlatat  36939  dochsat  36985  dochshpncl  36986  dochlkr  36987  dochkrshp  36988  dochkrshp3  36990  dvh2dimatN  37042  dvh3dim3N  37051  dochsatshp  37053  dochsatshpb  37054  dochexmidat  37061  dochexmidlem3  37064  dochsnkr  37074  dochsnkr2  37075  dochflcl  37077  dochfl1  37078  dochkr1  37080  dochkr1OLDN  37081  lcfl6lem  37100  lcfl7lem  37101  lcfl9a  37107  lclkrlem1  37108  lclkrlem2a  37109  lclkrlem2e  37113  lclkrlem2g  37115  lclkrlem2h  37116  lclkrlem2o  37123  lclkrlem2p  37124  lclkrlem2q  37125  lclkrlem2s  37127  lclkrlem2v  37130  lclkrslem1  37139  lcfrvalsnN  37143  lcfrlem16  37160  lcfrlem20  37164  lcfrlem25  37169  lcfrlem29  37173  lcfrlem31  37175  lcfrlem33  37177  lcfrlem35  37179  lcdlvec  37193  lcdlkreqN  37224  lcdlkreq2N  37225  mapdordlem2  37239  mapdsn3  37245  mapdrvallem2  37247  mapdcnvatN  37268  mapdat  37269  mapdpglem10  37283  mapdpglem15  37288  mapdpglem17N  37290  mapdpglem18  37291  mapdpglem19  37292  mapdpglem21  37294  mapdpglem22  37295  mapdheq4lem  37333  mapdheq4  37334  mapdh6lem1N  37335  mapdh6lem2N  37336  mapdh6aN  37337  mapdh6b0N  37338  mapdh6bN  37339  mapdh6cN  37340  mapdh6dN  37341  mapdh6eN  37342  mapdh6fN  37343  mapdh6hN  37345  mapdh7eN  37350  mapdh7dN  37352  mapdh7fN  37353  mapdh75fN  37357  mapdh8aa  37378  mapdh8ab  37379  mapdh8ad  37381  mapdh8b  37382  mapdh8c  37383  mapdh8d0N  37384  mapdh8d  37385  mapdh8e  37386  mapdh9a  37392  mapdh9aOLDN  37393  hdmap1eq4N  37409  hdmap1l6lem1  37410  hdmap1l6lem2  37411  hdmap1l6a  37412  hdmap1l6b0N  37413  hdmap1l6b  37414  hdmap1l6c  37415  hdmap1l6d  37416  hdmap1l6e  37417  hdmap1l6f  37418  hdmap1l6h  37420  hdmap1eulemOLDN  37427  hdmapval0  37438  hdmapval3lemN  37442  hdmap10lem  37444  hdmap11lem1  37446  hdmap11lem2  37447  hdmaprnlem4N  37458  hdmaprnlem3eN  37463  hdmap14lem1a  37471  hdmap14lem4a  37476  hdmap14lem11  37483  hgmap11  37507  hdmaplkr  37518  hdmapip1  37521  hgmapvvlem1  37528  hgmapvvlem2  37529  hgmapvvlem3  37530  hlhillvec  37556
  Copyright terms: Public domain W3C validator