Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhlvec Structured version   Unicode version

Theorem dvhlvec 35062
Description: The full vector space  U constructed from a Hilbert lattice  K (given a fiducial hyperplane 
W) is a left module. (Contributed by NM, 23-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhlvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvhlvec.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dvhlvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
dvhlvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem dvhlvec
StepHypRef Expression
1 dvhlvec.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 dvhlvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2451 . . 3  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
5 eqid 2451 . . 3  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
6 dvhlvec.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2451 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
8 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  U )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  U )
)
9 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  U )
)
11 eqid 2451 . . 3  |-  ( invg `  (Scalar `  U ) )  =  ( invg `  (Scalar `  U ) )
12 eqid 2451 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  U )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  U )
)
13 eqid 2451 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dvhlveclem 35061 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
151, 14syl 16 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   .rcmulr 14343  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346   0gc0g 14482   invgcminusg 15515   LVecclvec 17291   HLchlt 33303   LHypclh 33936   LTrncltrn 34053   TEndoctendo 34704   DVecHcdvh 35031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-undef 6894  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-0g 14484  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-lmod 17058  df-lvec 17292  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707  df-edring 34709  df-dvech 35032
This theorem is referenced by:  dvhlmod  35063  dih1dimatlem  35282  dihlspsnssN  35285  dihlspsnat  35286  dihpN  35289  dihlatat  35290  dochsat  35336  dochshpncl  35337  dochlkr  35338  dochkrshp  35339  dochkrshp3  35341  dvh2dimatN  35393  dvh3dim3N  35402  dochsatshp  35404  dochsatshpb  35405  dochexmidat  35412  dochexmidlem3  35415  dochsnkr  35425  dochsnkr2  35426  dochflcl  35428  dochfl1  35429  dochkr1  35431  dochkr1OLDN  35432  lcfl6lem  35451  lcfl7lem  35452  lcfl9a  35458  lclkrlem1  35459  lclkrlem2a  35460  lclkrlem2e  35464  lclkrlem2g  35466  lclkrlem2h  35467  lclkrlem2o  35474  lclkrlem2p  35475  lclkrlem2q  35476  lclkrlem2s  35478  lclkrlem2v  35481  lclkrslem1  35490  lcfrvalsnN  35494  lcfrlem16  35511  lcfrlem20  35515  lcfrlem25  35520  lcfrlem29  35524  lcfrlem31  35526  lcfrlem33  35528  lcfrlem35  35530  lcdlvec  35544  lcdlkreqN  35575  lcdlkreq2N  35576  mapdordlem2  35590  mapdsn3  35596  mapdrvallem2  35598  mapdcnvatN  35619  mapdat  35620  mapdpglem10  35634  mapdpglem15  35639  mapdpglem17N  35641  mapdpglem18  35642  mapdpglem19  35643  mapdpglem21  35645  mapdpglem22  35646  mapdheq4lem  35684  mapdheq4  35685  mapdh6lem1N  35686  mapdh6lem2N  35687  mapdh6aN  35688  mapdh6b0N  35689  mapdh6bN  35690  mapdh6cN  35691  mapdh6dN  35692  mapdh6eN  35693  mapdh6fN  35694  mapdh6hN  35696  mapdh7eN  35701  mapdh7dN  35703  mapdh7fN  35704  mapdh75fN  35708  mapdh8aa  35729  mapdh8ab  35730  mapdh8ad  35732  mapdh8b  35733  mapdh8c  35734  mapdh8d0N  35735  mapdh8d  35736  mapdh8e  35737  mapdh9a  35743  mapdh9aOLDN  35744  hdmap1eq4N  35760  hdmap1l6lem1  35761  hdmap1l6lem2  35762  hdmap1l6a  35763  hdmap1l6b0N  35764  hdmap1l6b  35765  hdmap1l6c  35766  hdmap1l6d  35767  hdmap1l6e  35768  hdmap1l6f  35769  hdmap1l6h  35771  hdmap1eulemOLDN  35778  hdmapval0  35789  hdmapval3lemN  35793  hdmap10lem  35795  hdmap11lem1  35797  hdmap11lem2  35798  hdmaprnlem4N  35809  hdmaprnlem3eN  35814  hdmap14lem1a  35822  hdmap14lem4a  35827  hdmap14lem11  35834  hgmap11  35858  hdmaplkr  35869  hdmapip1  35872  hgmapvvlem1  35879  hgmapvvlem2  35880  hgmapvvlem3  35881  hlhillvec  35907
  Copyright terms: Public domain W3C validator