Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6c 36120
 Description: Lemmma for hdmap1l6 36129. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6c.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap1l6c.z (𝜑𝑍 = 0 )
hdmap1l6c.ne (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6c (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6c
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 35899 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lmodgrp 18693 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Grp)
7 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
10 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
13 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
16 hdmap1l6.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
171, 7, 3dvhlvec 35416 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
18 hdmap1l6cl.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3552 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
20 hdmap1l6c.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
21 hdmap1l6c.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 = 0 )
221, 7, 3dvhlmod 35417 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
238, 9lmod0vcl 18715 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑0𝑉)
2521, 24eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
26 hdmap1l6c.ne . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
278, 10, 17, 19, 20, 25, 26lspindpi 18953 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
291, 7, 8, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 28, 18, 20hdmap1cl 36112 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
31 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
3211, 30, 31grprid 17276 . . 3 ((𝐶 ∈ Grp ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
336, 29, 32syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
3421oteq3d 4354 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩)
3534fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩))
361, 7, 8, 9, 2, 11, 31, 14, 3, 15, 19hdmap1val0 36107 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 0 ⟩) = 𝑄)
3735, 36eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝑄)
3837oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) 𝑄))
3921oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌 + 0 ))
40 lmodgrp 18693 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
4122, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
42 hdmap1l6.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
438, 42, 9grprid 17276 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4441, 20, 43syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + 0 ) = 𝑌)
4539, 44eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = 𝑌)
4645oteq3d 4354 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩ = ⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)
4746fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
4833, 38, 473eqtr4rd 2655 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931  HDMap1chdma1 36099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932  df-hdmap1 36101 This theorem is referenced by:  hdmap1l6k  36128
 Copyright terms: Public domain W3C validator