Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem22 36000
 Description: Lemma for mapdpg 36013. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlvec 35898 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
6 mapdpglem.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
72, 6, 4dvhlvec 35416 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
98lvecdrng 18926 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LVec → 𝐴 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ DivRing)
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
12 mapdpglem.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
15 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
18 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
24 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29 mapdpglem4.z . . . . . 6 0 = (0g𝐴)
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑄)
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 35989 . . . . 5 (𝜑𝑔0 )
34 eqid 2610 . . . . . 6 (invr𝐴) = (invr𝐴)
3522, 29, 34drnginvrcl 18587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ 𝐵)
37 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
38 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 35907 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
4036, 39eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
4122, 29, 34drnginvrn0 18588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ DivRing ∧ 𝑔𝐵𝑔0 ) → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ 0 )
43 eqid 2610 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝐶)) = (0g‘(Scalar‘𝐶))
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 35915 . . . 4 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐶)) = 0 )
4542, 44neeqtrrd 2856 . . 3 (𝜑 → ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶)))
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 35981 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 18935 . . 3 ((𝐶 ∈ LVec ∧ (((invr𝐴)‘𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ ((invr𝐴)‘𝑔) ≠ (0g‘(Scalar‘𝐶))) ∧ 𝑡𝐹) → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{𝑡}))
49 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
50 mapdpglem17.ep . . . . 5 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 35999 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡) = (𝐺𝑅𝐸))
5251sneqd 4137 . . 3 (𝜑 → {(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
5352fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑡)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
541, 48, 533eqtr2d 2650 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  LSSumclsm 17872  invrcinvr 18494  DivRingcdr 18570  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  mapdcmpd 35931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932 This theorem is referenced by:  mapdpglem23  36001
 Copyright terms: Public domain W3C validator