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Theorem dih1dimatlem 35636
Description: Lemma for dih1dimat 35637. (Contributed by NM, 10-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dih1dimat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dimat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dih1dimat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dih1dimat.l = (le‘𝐾)
dih1dimat.c 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
dih1dimat.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dih1dimat.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dih1dimat.d 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dih1dimat.j 𝐽 = (invr𝐹)
dih1dimat.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dimat.m · = ( ·𝑠𝑈)
dih1dimat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dimat.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dimat.z 0 = (0g𝑈)
dih1dimat.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dih1dimatlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Distinct variable groups:   ,   𝐵,   𝑓,𝑠,𝐸   𝐶,   ,𝐽   𝑓,𝑁,𝑠   𝑓,,𝐾,𝑠   𝑇,𝑓,,𝑠   𝑈,𝑓,,𝑠   𝑓,𝐻,,𝑠   𝑓,𝑉,𝑠   𝑓,𝑊,,𝑠   𝑓,𝐼,𝑠   𝑃,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑠)   𝐶(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑅(𝑓,,𝑠)   𝑆(𝑓,,𝑠)   · (𝑓,,𝑠)   𝐸()   𝐹(𝑓,,𝑠)   𝐺(𝑓,,𝑠)   𝐼()   𝐽(𝑓,𝑠)   (𝑓,𝑠)   𝑁()   𝑂(𝑓,,𝑠)   𝑉()   0 (𝑓,,𝑠)

Proof of Theorem dih1dimatlem
Dummy variables 𝑣 𝑔 𝑖 𝑝 𝑟 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dih1dimat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dih1dimat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlvec 35416 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
5 dih1dimat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dih1dimat.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 dih1dimat.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 dih1dimat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
95, 6, 7, 8islsat 33296 . . . 4 (𝑈 ∈ LVec → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
104, 9syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐷𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣})))
1110biimpa 500 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}))
12 eldifi 3694 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣𝑉)
13 dih1dimat.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dih1dimat.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
151, 13, 14, 2, 5dvhvbase 35394 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 = (𝑇 × 𝐸))
1615eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣𝑉𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1712, 16syl5ib 233 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
1817imp 444 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸))
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → 𝑠 = 𝑂)
2019opeq2d 4347 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ = ⟨𝑓, 𝑂⟩)
2120sneqd 4137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → {⟨𝑓, 𝑠⟩} = {⟨𝑓, 𝑂⟩})
2221fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
23 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
24 dih1dimat.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐾)
25 dih1dimat.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
2624, 1, 13, 25trlcl 34469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) ∈ 𝐵)
27 dih1dimat.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
2827, 1, 13, 25trlle 34489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑅𝑓) 𝑊)
29 dih1dimat.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
30 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
3124, 27, 1, 29, 30dihvalb 35544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝑓) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
3223, 26, 28, 31syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)))
33 dih1dimat.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
3424, 1, 13, 25, 33, 2, 30, 6dib1dim2 35475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝑓)) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}))
3532, 34eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) = (𝐼‘(𝑅𝑓)))
36 dih1dimat.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
3724, 1, 29, 2, 36dihf11 35574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼:𝐵1-1𝑆)
39 f1fn 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼:𝐵1-1𝑆𝐼 Fn 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → 𝐼 Fn 𝐵)
41 fnfvelrn 6264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (𝑅𝑓) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4240, 26, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝑓)) ∈ ran 𝐼)
4335, 42eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓𝑇) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4443adantrr 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑂⟩}) ∈ ran 𝐼)
4622, 45eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠 = 𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
47 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 dih1dimat.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
49 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
501, 14, 2, 48, 49dvhbase 35390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (Base‘𝐹) = 𝐸)
5251rexeqdv 3122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)))
53 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑡𝐸)
55 opelxpi 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑇𝑠𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5655ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
57 dih1dimat.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 · = ( ·𝑠𝑈)
581, 13, 14, 2, 57dvhvscacl 35410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸 ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
5953, 54, 56, 58syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸))
60 eleq1a 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ∈ (𝑇 × 𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6261rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) → 𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸)))
6362pm4.71rd 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩))))
64 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑓𝑇)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑓𝑇)
66 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝐸)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → 𝑠𝐸)
681, 13, 14, 2, 57dvhopvsca 35409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
6953, 54, 65, 67, 68syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)
7069eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) ∧ 𝑡𝐸) → (𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7170rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
7271anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7352, 63, 723bitrd 293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩) ↔ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
7473abbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)})
75 df-rab 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {𝑢 ∣ (𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)}
7674, 75syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩})
77 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸)
78 relxp 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel (𝑇 × 𝐸)
79 relss 5129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ⊆ (𝑇 × 𝐸) → (Rel (𝑇 × 𝐸) → Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
8077, 78, 79mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}
81 relopab 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}
82 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖 ∈ V
83 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
84 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑖 → (𝑔 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑟𝐺)))
8584anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑖 → ((𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)))
86 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐺) = (𝑝𝐺))
8786eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑖 = (𝑟𝐺) ↔ 𝑖 = (𝑝𝐺)))
88 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝐸𝑝𝐸))
8987, 88anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑖 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸) ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸)))
9082, 83, 85, 89opelopab 4922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)} ↔ (𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸))
91 dih1dimat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶 = (Atoms‘𝐾)
92 dih1dimat.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
93 dih1dimat.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (invr𝐹)
94 dih1dimat.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃))
951, 2, 29, 8, 24, 27, 91, 92, 13, 25, 14, 33, 48, 93, 5, 57, 36, 6, 7, 94dih1dimatlem0 35635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
96953expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))))
97 opelxp 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ↔ (𝑖𝑇𝑝𝐸))
9882, 83opth 4871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
9998rexbii 3023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠)))
10097, 99anbi12i 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩) ↔ ((𝑖𝑇𝑝𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸 (𝑖 = (𝑡𝑓) ∧ 𝑝 = (𝑡𝑠))))
10196, 100syl6bbr 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩)))
102 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
103102rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑝⟩ → (∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩ ↔ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
104103elrab 3331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ∃𝑡𝐸𝑖, 𝑝⟩ = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩))
105101, 104syl6bbr 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝑖 = (𝑝𝐺) ∧ 𝑝𝐸) ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩}))
10690, 105syl5rbb 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} ↔ ⟨𝑖, 𝑝⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)}))
10780, 81, 106eqrelrdv 5139 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑡𝐸 𝑢 = ⟨(𝑡𝑓), (𝑡𝑠)⟩} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
10876, 107eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)} = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
1091, 2, 47dvhlmod 35417 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑈 ∈ LMod)
1101, 13, 14, 2, 5dvhelvbasei 35395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉)
11248, 49, 5, 57, 6lspsn 18823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑓, 𝑠⟩ ∈ 𝑉) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
113109, 111, 112syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐹)𝑢 = (𝑡 ·𝑓, 𝑠⟩)})
114 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑠𝑂)
11524, 1, 13, 14, 33, 2, 48, 93tendoinvcl 35411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝐽𝑠) ≠ 𝑂))
116115simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
11747, 66, 114, 116syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐽𝑠) ∈ 𝐸)
1181, 13, 14tendocl 35073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐽𝑠) ∈ 𝐸𝑓𝑇) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
11947, 117, 64, 118syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇)
12027, 91, 1, 92lhpocnel2 34323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12147, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12227, 91, 1, 13ltrnel 34443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐶 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
12347, 119, 121, 122syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊))
124 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
12527, 91, 1, 124, 29dihvalcqat 35546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12647, 123, 125syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
12727, 91, 1, 92, 13, 14, 124, 94dicval2 35486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐶 ∧ ¬ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
12847, 123, 127syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
129126, 128eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) = {⟨𝑔, 𝑟⟩ ∣ (𝑔 = (𝑟𝐺) ∧ 𝑟𝐸)})
130108, 113, 1293eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) = (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)))
13124, 1, 29dihfn 35575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → 𝐼 Fn 𝐵)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐼 Fn 𝐵)
134 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ HL)
135 hlop 33667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝐾 ∈ OP)
13724, 1lhpbase 34302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
138137ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑊𝐵)
139 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
14024, 139opoccl 33499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
141136, 138, 140syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐵)
14292, 141syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → 𝑃𝐵)
14324, 1, 13ltrncl 34429 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝑠)‘𝑓) ∈ 𝑇𝑃𝐵) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
14447, 119, 142, 143syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵)
145 fnfvelrn 6264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Fn 𝐵 ∧ (((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
146133, 144, 145syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝐼‘(((𝐽𝑠)‘𝑓)‘𝑃)) ∈ ran 𝐼)
147130, 146eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) ∧ 𝑠𝑂) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
14846, 147pm2.61dane 2869 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓𝑇𝑠𝐸)) → (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
149148ralrimivva 2954 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
150 sneq 4135 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → {𝑣} = {⟨𝑓, 𝑠⟩})
151150fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}))
152151eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑣 = ⟨𝑓, 𝑠⟩ → ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼))
153152ralxp 5185 . . . . . . . 8 (∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 ↔ ∀𝑓𝑇𝑠𝐸 (𝑁‘{⟨𝑓, 𝑠⟩}) ∈ ran 𝐼)
154149, 153sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∀𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)(𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
155154r19.21bi 2916 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑇 × 𝐸)) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
15618, 155syldan 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼)
157 eleq1a 2683 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑣}) ∈ ran 𝐼 → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
158156, 157syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) → (𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
159158rexlimdva 3013 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
160159adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })𝐷 = (𝑁‘{𝑣}) → 𝐷 ∈ ran 𝐼))
16111, 160mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  cdif 3537  wss 3540  {csn 4125  cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ran crn 5039  cres 5040  ccom 5042  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  1-1wf1 5801  cfv 5804  crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  lecple 15775  occoc 15776  0gc0g 15923  invrcinvr 18494  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923  LSAtomsclsa 33279  OPcops 33477  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463  TEndoctendo 35058  DVecHcdvh 35385  DIsoBcdib 35445  DIsoCcdic 35479  DIsoHcdih 35535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536
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