Theorem lspsn 18823

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspsn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 18784	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	5, 7, 9	lmod1cl 18713	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
12	4, 5, 6, 9	lmodvs1 18714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
14		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
15	14	eqeq2d 2620	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝐹) → (𝑋 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋)))
16	15	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
17	11, 13, 16	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
18		eqeq1 2614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
19	18	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
20	19	elabg 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
22	17, 21	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
23	1, 2, 3, 8, 22	lspsnel5a 18817	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
24	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
25	4, 1, 2	lspsncl 18798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
27		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
28	4, 2	lspsnid 18814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	5, 6, 7, 1	lssvscl 18776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31	24, 26, 27, 29, 30	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
32		eleq1a 2683	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
34	33	rexlimdva 3013	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
35	34	abssdv 3639	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
36	23, 35	eqssd 3585	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  1_rcur 18324  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793

This theorem is referenced by:  lspsnel  18824  rnascl  19164  ldual1dim  33471  dia1dim2  35369  dib1dim2  35475  diclspsn  35501  dih1dimatlem  35636