MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsneli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsneli 18822
Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (spansnmul 27807 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnvsel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnvsel.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsnvsel.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsnvsel.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsnvsel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnvsel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnvsel.a (𝜑𝐴𝐾)
lspsnvsel.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsneli (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsneli
StepHypRef Expression
1 lspsnvsel.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsnvsel.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspsnvsel.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lspsnvsel.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
63, 4, 5lspsncl 18798 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
71, 2, 6syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lspsnvsel.a . 2 (𝜑𝐴𝐾)
93, 5lspsnid 18814 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
101, 2, 9syl2anc 691 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
11 lspsnvsel.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 lspsnvsel.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
13 lspsnvsel.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
1411, 12, 13, 4lssvscl 18776 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐴𝐾𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
151, 7, 8, 10, 14syl22anc 1319 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793
This theorem is referenced by:  lspsnvsi  18825  lsmspsn  18905  lsppreli  18911  lspexch  18950  lvecindp  18959  lvecindp2  18960  lshpdisj  33292  lkrlsp  33407  lshpsmreu  33414  lshpkrlem5  33419  baerlem3lem2  36017  baerlem5alem2  36018  baerlem5blem2  36019
  Copyright terms: Public domain W3C validator