Theorem lclkrlem2q 35830

Description: Lemma for lclkr 35840. The sum has a closed kernel when 𝐵 is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b	⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2q.bn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2q	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2o.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2o.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2o.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2m.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2m.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6		lclkrlem2m.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
7		eqid 2610	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		lclkrlem2o.a	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
9		lclkrlem2n.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		lclkrlem2m.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		eqid 2610	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
12		lclkrlem2n.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13		lclkrlem2m.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14		lclkrlem2m.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐷)
15		lclkrlem2o.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		lclkrlem2m.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		lclkrlem2m.q	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑆)
18		lclkrlem2m.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
19		lclkrlem2m.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
20		lclkrlem2m.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21		lclkrlem2m.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22		lclkrlem2m.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
23		lclkrlem2m.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
24	1, 3, 15	dvhlvec 35416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
25		lclkrlem2q.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋 − ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
26		lclkrlem2q.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
27	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26	lclkrlem2m 35826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 ))
28	27	simpld 474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
29		lclkrlem2q.bn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑈))
30		eldifsn 4260	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0g‘𝑈)))
31	28, 29, 30	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
32		lclkrlem2q.le	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
33		lclkrlem2q.lg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
34	27	simprd 478	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 0 )
35	4, 16, 5, 17, 6, 18, 19, 10, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 9, 12, 1, 2, 3, 8, 15, 25, 26, 29	lclkrlem2o 35828	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 31, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 20, 21	lclkrlem2l 35825	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  -_gcsg 17247  LSSumclsm 17872  inv_rcinvr 18494  LSpanclspn 18792  LSHypclsh 33280  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  ocHcoch 35654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702

This theorem is referenced by:  lclkrlem2t  35833